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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Sa 01.05.2010 | | Autor: | mathiko |
| Aufgabe | Gegeben ist die symmetrische Matrix des Trägheitstensors eines starren Körpers: [mm] I=\pmat{ 5 & 1 & -2 \\ 1 & 5 & -2 \\ -2 & -2 & 4 }
[/mm]
Bestimme (bzgl. geeigneter ONB) die zugehörige diagonale Matrix der hauptträgheitsmomente. |
Hallo an alle!
Also, ich habe die Hauptträgheitsmomente (Eigenwerte) und die dazugehörigen Eigenvektoren bestimmt:
[mm] t_1=2 [/mm] mit [mm] v_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] t_2=4 [/mm] mit [mm] v_2=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] t_3=8 [/mm] mit [mm] v_3=\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Die Bestimmung der diagonalen Matrix bereitet mir allerdings Schwierigkeiten.
Ich stoße immer wieder auf die Formel: [mm] D=S^T*A*S
[/mm]
Das A ist mein I. S ist die Matrix aus den Hauptträgheitsmomenten: [mm] S=\pmat{ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1\\ 2 & 0 & 1 }
[/mm]
Die transponierte Matrix [mm] S^T [/mm] ist dann ja: [mm] S^T=\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1 }
[/mm]
Dann brauche ich doch nur nur noch einmal [mm] S^T*I [/mm] und dieses Ergebnis mit S zu multiplizieren, oder?
Leider bekomme ich da keine Diagonalmtrix heraus:
[mm] S^T*I=\pmat{ 6 & -2 & -4 \\ 8 & 8 & -8\\ 8 & 0 & 0 }=E
[/mm]
(Die 6 kommt z.B. so zustande: 1*5+(-1)*1+(-1)*(-2)=6)
[mm] E*S=\pmat{ 12 & 8 & 8 \\ 8 & 24 & 8\\ 8 & 8 & 8 }=D
[/mm]
Habe ich etwas falsch gemacht?
Grüße von mathiko
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Du hast doch bereits deine Eigenwerte bestimmt.
D ist eine sehr einfache symmetrische Matrix. Sie hat die Eigenwerte auf der Diagonale und sonst nur Nullen.
Musst du das explizit nachrechnen? Ansonsten kannst du die Lösung direkt hinschreiben.
Gruß Pippi
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Hallo
> Ich stoße immer wieder auf die Formel: [mm]D=S^T*A*S[/mm]
Bist du sicher, dass die Formel so gegeben ist?
Falls S deine Matrix mit den Eigenvektoren als Spalten ist, dann ist die diagonalisierte Matrix D gegeben durch
D = [mm] S^{-1}\cdot A\cdot [/mm] S
Es ist ein bisschen aufwändiger als transponieren, geht aber auch schnell :)
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Sa 01.05.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo ihr zwei!
Erstmal danke für eure schnellen Antworten!!!!!!!!
@pippilangstrumpf:
Ja, ich muss es leider nachrechnen. Sonst hätte ich die Eigenwerte auch einfach nur auf die Diagonale geschrieben... :)
@Arcesius:
Hm, vielleicht habe ich die Formel in der Vorlesung falsch abgeschrieben...?
Aber du hast recht: Eine Matrix zu invertieren geht auch recht schnell ;)
Grüße von mathiko
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Dann musst du dir wohl die Mühe machen... 
Aber das ist kein Problem.
Zur Mitteilung:
Eigenvektoren sind orthogonal:
Q ist invertierbar und ihre Transponierte ist gleichzeitig ihre Inverse:
QT = [mm] Q^{-1}.
[/mm]
Am besten nochmals die Evektoren nachrechnen und multiplizieren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Dann musst du dir wohl die Mühe machen...
> Aber das ist kein Problem.
>
> Zur Mitteilung:
> Eigenvektoren sind orthogonal:
> Q ist invertierbar und ihre Transponierte ist gleichzeitig
> ihre Inverse:
>
> QT = [mm]Q^{-1}.[/mm]
>
> Am besten nochmals die Evektoren nachrechnen und
> multiplizieren...
Die Eigenvektoren und Eigenwerte hat er richtig ausgerechnet. Aber [mm] Q^{t} \neq Q^{-1}
[/mm]
Rechne zur Kontrolle [mm] Q*Q^{t} [/mm] aus und du wirdst sehen, dass das Ergebnis nicht die Einheitsmatrix ist.
Grüsse, Amaro
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