Matrix einer Bilinearform < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Sei s die symmetrische Bilinearform gegeben durch die Matrix [mm] A=\pmat{3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 } [/mm] Bestimmen Sie eine Basis B des [mm] \IR^3 [/mm] , so dass [mm] M_B(s) [/mm] Diagonalgestalt hat und eine
weitere Basis B , so dass [mm] M_B(s)=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] |
Hallo zusammen,
Also ich habe mich schon an der Aufgabe probiert, habe aber noch keine Lösung finden können. Habe es unter anderem mit einer orthogonalen Basis des [mm] IR^3 [/mm] probiert, aber die Matrix sieht dann nicht Diagonal aus...
Ich freue mich auf Eure Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Sei s die symmetrische Bilinearform gegeben durch die
> Matrix [mm]A=\pmat{3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 }[/mm]
> Bestimmen Sie eine Basis B des [mm]\IR^3[/mm] , so dass [mm]M_B(s)[/mm]
> Diagonalgestalt hat und eine
> weitere Basis B , so dass [mm]M_B(s)=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> Also ich habe mich schon an der Aufgabe probiert, habe aber
> noch keine Lösung finden können. Habe es unter anderem
> mit einer orthogonalen Basis des [mm]IR^3[/mm] probiert, aber die
> Matrix sieht dann nicht Diagonal aus...
Naja, ausprobieren bringt auch nicht weiter. Wäre nicht schlecht wenn du deinen Ansatz posten würdest.
Zum ersten Teil: wie immer beim Diagonalisieren löst du die Gleichung [mm] $det(\lambda E_3-A)=0$ [/mm] und bestimmst dann die Eigenräume, indem du die erhaltenen [mm] $\lambda$ [/mm] wieder in die Matrix einsetzt. Damit hast du dann schon jeweils eine Basis deiner Eigenräume. Zusammen geben diese Basen dann die gewünschte Basis des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Zum zweiten Teil: Da gibt es einen Algorithmus, den du anwenden kannst. Du nimmst die $3 [mm] \times [/mm] 6$ Matrix [mm] $(A|E_3)$ [/mm] und bringst durch simultane Zeilen- und Spaltenumformungen den vorderen Teil der Matrix auf die gewünschte Form
[mm]M_B(s)=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
In den zweiten Teil der Matrix nimmst du nur die Zeilenumformungen mit. Am Ende steht in dieser zweiten Hälfte dann deine Basis. ich zeige dir mal einen Schritt:
[mm] $\pmat{3 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ -2 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 &1} \to \pmat{3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{2}{3} & -2 & \frac{2}{3} & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 &1}$
[/mm]
Du addierst zur zweiten Spalte [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] mal die erste Spalte und dann zur zweiten Zeile [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] mal die erste Zeile. So kannst du weiter fortfahren.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Do 17.03.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Lippel,
Vielen Dank für deine hilfreiche Antwort! 
Ich werde deinen Ansatz morgen ausprobieren. Wir hatten Bilinearformen nur ganz am Rande behandelt, und ich hatte keinen wirklichen Ansatz. Meine einzige Idee war, dass eine orthogonale Basis eine Dreiecksmatrix hervorbringen würde. Aber dies hat sich als Fehlvermutung herausgestellt. Das Problem war auch, ich konnte zu Matrizen von Bilinearformen kaum etwas in der Literatur finden. Das man aber sehr ähnlich bei der Diagonalisierung von Linearen Abbildungen vorgeht, daran habe ich nicht gedacht...
Viele Grüße,
Vilietha
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