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| Aufgabe | | http://share.stephan-koeninger.de/Mathe.jpg |
Hallo,
ich habe die Aufgabe als Datei mit Bild eingestellt, da dieses dafür notwendig ist.
Ich tüftle schon an einem Ansatz, aber ich komme nie richtig weiter.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Da wir gerade erst mit Matrix Aufgaben angefangen haben, fällt mir das Aufstellen sehr schwer.
Danke im Voraus! :o)
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> http://share.stephan-koeninger.de/Mathe.jpg
> Hallo,
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> ich habe die Aufgabe als Datei mit Bild eingestellt, da
> dieses dafür notwendig ist.
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> Ich tüftle schon an einem Ansatz, aber ich komme nie
> richtig weiter.
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> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Da wir gerade erst
> mit Matrix Aufgaben angefangen haben, fällt mir das
> Aufstellen sehr schwer.
Du betrachtest einfach suzkessive die Situation an den einzelnen Kreuzungen $A$, $B$, $C$ und $D$. Jede dieser Kreuzungen liefert Dir eine Gleichung, die die Verkehrsdichten [mm] $x_1$, $x_2$, $x_3$ [/mm] und [mm] $x_4$ [/mm] erfüllen müssen. Also erhälst Du, meiner Meinung nach, das folgende lineare Gleichungssystem
[mm]\begin{array}{rcrcrcrcl|l}
x_1 & & & & &+& x_4 &=& 200+400 &\text{bei $A$}\\
x_1 &+& x_2 & & & & &=& 200+300 &\text{bei $B$}\\
& & x_2 &+& x_3 & & &=& 100+100 &\text{bei $C$}\\
& & & & x_3 &+& x_4 &=& 200+100 &\text{bei $D$}\\\cline{1-9}
\end{array}[/mm]
Problematisch an diesen Vorgehen scheint mir aber, dass man hier ja nicht berücksichtigt, dass Autofahrer relativ eigensinnige Objekte sind, denen man nur schwer vorschreiben kann, in welcher Richtung sie nach einer Kreuzung weiterfahren sollen. Wir haben also den Verkehrsfluss mehr wie eine inkompressible Flüssigkeit behandelt, die durch das "Leitungssystem" dieser Strassen getrieben wird...
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Hallo,
erstmal danke für den Ansatz, meiner war ähnlich, aber ich konnte damit nicht rechnen.
In einer Matrix hieße das
1 0 0 1 600
1 1 0 0 500
0 1 1 0 200
0 0 1 1 300
Und jetzt?sagen wir ich würd in der ersten Zeile x4 = 0 bekommen wollen, indem ich A - D rechne, dann hab ich aber bei x3 = -1.
Wie rechne ich denn damit?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 So 13.01.2008 | | Autor: | stekoe2000 |
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 } \cdot [/mm] x = [mm] \pmat{600 \\ 500 \\ 200 \\ 300}
[/mm]
1. Schritt: 1.Zeile + 3. Zeile:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 } \cdot [/mm] x = [mm] \pmat{800 \\ 500 \\ 200 \\ 300}
[/mm]
2. Schritt: 2. Zeile + 4. Zeile:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 } \cdot [/mm] x = [mm] \pmat{800 \\ 800 \\ 200\\ 300}
[/mm]
3. Schritt: 1. Zeile - 2. Zeile:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 } \cdot [/mm] x = [mm] \pmat{0 \\ 500 \\ 200 \\ 300}
[/mm]
0 = 0 [mm] \rightarrow [/mm] Das LGS ist nicht eindeutig Lösbar, hat daher mehrere Lösungsmengen.
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> Hallo,
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> erstmal danke für den Ansatz, meiner war ähnlich, aber ich
> konnte damit nicht rechnen.
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> In einer Matrix hieße das
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> 1 0 0 1 600
> 1 1 0 0 500
> 0 1 1 0 200
> 0 0 1 1 300
>
> Und jetzt?sagen wir ich würd in der ersten Zeile x4 = 0
> bekommen wollen, indem ich A - D rechne, dann hab ich aber
> bei x3 = -1.
>
> Wie rechne ich denn damit?
stekoe2000 hat in der Mitteilung https://www.vorhilfe.de/read?i=351848 gezeigt, wie man dieses Gleichungssystem auf "Stufenform" bringen kann (nur hätte er dazu strengenommen eigentlich die erste Zeile seines Ergebnisses als letzte schreiben sollen).
Nun kann man die Variable [mm] $x_4$, [/mm] die diese Gleichung mit lauter 0-Koeffizienten sicher stets erfüllt, als beliebig aus [mm] $\IR$ [/mm] gewählt annehmen (Parameter der Lösungsmenge des Systems) und nun systematisch durch "Rückwärtseinsetzen" dieses Wertes von [mm] $x_4$ [/mm] in die Gleichung, in der neben [mm] $x_4$ [/mm] nur [mm] $x_3$ [/mm] vorkommt, [mm] $x_3$ [/mm] (als Funktion von [mm] $x_4$) [/mm] bestimmen. usw. bis man alle Lösungen (immer in Abhängigkeit vom freien Parameter [mm] $x_4$) [/mm] bestimmt hat.
So erhält man die allgemeine Lösung des Gleichungssystems in der Form [mm] $x_1=600-x_4$, $x_2=x_4-100$, $x_3=300-x_4$ [/mm] und [mm] $x_4\in \IR$.
[/mm]
Gestützt auf diese allgemeine Lösung kann man nun die Fragen der Aufgabenstellung zu beantworten versuchen:
a) Ist z.B. die Sperrung des Strassenstücks AD ohne Drosselung des Zuflusses möglich? Wenn ja, müsste dies eine Lösung mit [mm] $x_4=0$ [/mm] sein. Setzt man aber in die obige allgemeine Lösung [mm] $x_4=0$ [/mm] ein, so sieht man, dass [mm] $x_2=-100$ [/mm] sein müsste. Also negativ: dies entspricht falscher Fahrtrichtung in der Einbahnstrasse von C nach B: diese Lösung ist also nicht zulässig, so dass die Antwort auf diese Teilfrage nein lauten würde.
b) Hier wird man schauen müssen, welches der kleinste Wert von [mm] $x_1$ [/mm] ist, der noch zu einer insgesamt zulässigen Lösung führt (keine negativen Verkehrsdichten).
c) Analog, aber grösster möglicher Wert von [mm] $x_3$ [/mm] in einer zulässigen Lösung (d.h. ohne negative Verkehrsdichten).
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:02 So 13.01.2008 | | Autor: | stekoe2000 |
zu b)
[mm] x_1 [/mm] = 300
wenn [mm] x_1 [/mm] = 300, dann ist
[mm] x_4 [/mm] = 300
[mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] = 200
[mm] \Rightarrow [/mm] Keine negativen Verkehrsdichten und somit minimalste Lösung, denn wenn [mm] x_1 [/mm] > 300, dann ist [mm] x_3 [/mm] < 0 und das widerspricht der Voraussetzung.
zu c) [mm] x_3 [/mm] = 200
Wenn [mm] x_3 [/mm] = 200, dann ist [mm] x_4 [/mm] = 100
[mm] x_1 [/mm] = 500
[mm] x_2 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Wieder: Keine negativen Verkehrsdichten und somit maximalste Lösung, denn wenn [mm] x_1 [/mm] > 200, dann ist [mm] x_2 [/mm] < 0 und das widerspricht der Voraussetzung.
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