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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Do 12.10.2006 | | Autor: | ElemEnt |
| Aufgabe | Man schreibe die folgende Matrix A [mm] \in M_2(\IR) [/mm] als Produkt einer orthogonalen Matrix und einer oberen Dreiecksmatrix mit positiven Diagonaleinträgen:
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] |
Ich Grüße das Forum!
Mit dieser Aufgabe habe ich ein Problem.
Ich glaube ich habe einen Weg gefuden, wie ich diese Aufgabe lösen kann:
1) Die Spalten von A mit Gram-Schmidt orthonormalisieren und ein Orthonormalsystem erhalten [mm] (v_1,...,v_n) \in V_n(\IR), [/mm] gleichzeitig die [mm] t_{\mu j} \in \IR [/mm] erhalten, welche die positiven Diagonaleinträge der oberen Dreiecksmatrix sind ( [mm] t_{\mu j} [/mm] = 0, wenn [mm] \mu [/mm] > j; [mm] t_{\mu j} [/mm] sonst > 0). Dann ist diese obere Dreiecksmatrix die Matrix T= [mm] (t_{\mu j})
[/mm]
2) Die Matrix P [mm] \in M_n(\IR) [/mm] ist die Matrix mit den Spaltenvektoren [mm] v_1,...,v_n
[/mm]
3) A = PT.
Mein Problem sind die [mm] t_{\mu j}. [/mm] Ich habe nicht die geringste Ahnung, wie ich diese errechnen kann.
Laut meinem Skript gilt:
[mm] u_j [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{j} t_{\mu j} v_{\mu}
[/mm]
Leider ist dürftig, oder eher garnicht beschrieben, wie ich nun an diese Zahlen komme.
Gleiches gilt für das Orthonormalisierungsverfahren nach Gram- Schmidt. Keine Beispiele, nur der Beweis. In der einschlägigen Literatur finde ich nur ein Orthogonalisierungsverfahren, das ähnlich zu sein scheint (man normiert nur später), meine Rechenversuche aber wiederlegen die Funktionalität - ich bekomme keine normierten Vektoren heraus.
Ich suche also ein Verfahren, mit dessen Hilfe ich die Aufgabe knacken kann.
Wäre kalsse, wenn hier jemand weiter weiß!
Vielen Dank im Voraus, Daniel
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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Hast du dir die Matrix schon mal angesehen... die Spaltenvektoren stehen schon orthogonal aufeinander! Du brauchst sie nur noch normieren, dann bekommst du die orthogonale Matrix [mm] \pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}}} [/mm]
Als obere Dreiecksmatrix nimmst du einfach die Diagonalmatrix, die jeweils [mm]\wurzel{2}[/mm] in der Diagonale stehen hat.
lg
Patrick
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:08 Fr 13.10.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo Patrick!
Ich danke für deinen heißen Tip, ich glaube ich habe das jetzt verstanden und habe gleiches errechnen können!
Sofort habe ich dies an einer anderen Matrix ausprobiert, hier mal meine Rechnung:
A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &-1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & -1 }
[/mm]
Ich habe die Spalten als Vektoren angesehen und [mm] u_1,...,u_5 [/mm] genannt. Ich prüfe die Möglichkeit der Orthogonalität mit:
[mm] [/mm] = < [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 },\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ -1 }> [/mm] = 1 [mm] \not= [/mm] 0, also sind diese Vektoren nicht orthogonal.
Ich wende jetzt das Orthonormalisierungsverfahren an und erhalte:
[mm] w_1 [/mm] = [mm] u_1 [/mm] = [mm] (0,0,0,-1,0)^t,
[/mm]
[mm] w_2 [/mm] = [mm] (0,0,0,0,-1)^t,
[/mm]
[mm] w_3 [/mm] = [mm] (1,0,0,0,0)^t,
[/mm]
[mm] w_4 [/mm] = [mm] (0,-1,0,0,0)^t,
[/mm]
[mm] w_5 [/mm] = [mm] (0,0,1,0,0)^t.
[/mm]
Da diese Vektoren schon die Länge 1 haben schenke ich mir das normieren und es gilt der Reihe nach:
[mm] v_i [/mm] = [mm] w_i [/mm] für i=1,...,5
Jetzt sollte das System der [mm] v_i [/mm] ein ONS sein.
Damit erhalte ich diese Matrix für P:
[mm] P=(v_1|v_2|v_3|v_4|v_5)
[/mm]
Jetzt wollte ich die Matrix T finden und habe zuerst [mm] t_{\mu j}=0 [/mm] gesetzt, für [mm] \mu [/mm] > j.
dann habe ich berechnet die [mm] t_{jj}=1 [/mm] für alle j=1,...,5 , da
[mm] v_j [/mm] = [mm] (t_{jj})^{-1} [/mm] * [mm] w_j
[/mm]
jetzt habe ich noch die [mm] t_{\mu j} [/mm] berechnet für [mm] \mu [/mm] < j durch [mm] t_{\mu j} [/mm] = [mm]
[/mm]
diese sind auch alle 1.
Damit erhalte ich folgendes:
Eine obere Dreiecksmatrix mit lauter 1en auf allen Positionen (das ist dann T).
Wenn ich jetzt A=PT berechne ist dies eine wahre Aussage.
Jetzt wollte ich mich nocheinmal versichern, ob dies der richtige Weg ist oder ob mich hier der Zufall erwischt hat.
mfg Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:57 Mi 18.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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