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| Aufgabe | a) Sei p [mm] \in \IC[/mm] [t] ein Polynom mit reellen Koeffizienten und z [mm] \in \IC [/mm] eine Nullstelle von p (d.h. p^*(z)=0). Zeigen sie, dass dann auch "z quer" eine Nullstelle von p ist.
b) Zeigen sie, dass für eine unitäre Matix A [mm] \in U_{n}\IC [/mm] gilt: |det A |= 1.
c) Sei A [mm] \in \IC^{n*n} [/mm] eine Matrix mit reellen Einträgen und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v. Zeigen sie, dass dann auch " [mm] \lambda [/mm] quer" ein Eigenwert von A ist. |
Hallo ich habe ein Problem mit der obigen Aufgabe, und zwar weiß ich überhaupt nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Mir fehlt irgendwie bei allen drei Teilen eine Idee. Kann mir jemand von euch helfen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> a) Sei p [mm]\in \IC[/mm] [t]ein Polynom mit reellen Koeffizienten und z [mm]\in \IC[/mm] eine Nullstelle von p (d.h. p^*(z)=0). Zeigen sie, dass dann auch "z quer" eine Nullstelle von p ist.
Einfach nachrechnen. Benutze dafuer [mm] $\overline{a + b} [/mm] = [mm] \overline{a} [/mm] + [mm] \overline{b}$, $\overline{a \cdot b} [/mm] = [mm] \overline{a} \cdot \overline{b}$ [/mm] und [mm] $\overline{r} [/mm] = r$ fuer alle $a, b [mm] \in \IC$, [/mm] $r [mm] \in \IR$.
[/mm]
> b) Zeigen sie, dass für eine unitäre Matix A [mm]\in U_{n}\IC[/mm] gilt: |det A |= 1.
Die Determinante ist das Produkt aller Eigenwerte (schau dir das charakteristische Polynom an und faktorisier es als Linearfaktoren). Es reicht also zu zeigen, dass jeder Eigenwert Betrag 1 hat. Das bekommst du sofort mit der Eigenschaft `unitaer' hin, also mit Hilfe des Skalarproduktes.
> c) Sei A [mm]\in \IC^{n*n}[/mm] eine Matrix mit reellen Einträgen und [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v. Zeigen sie, dass dann auch " [mm]\lambda[/mm] quer" ein Eigenwert von A ist.
Benutze a).
LG Felix
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hallo, danke erst einmal. also bei b) und c) bin ich jetzt weiter gekommen, nur bei a) weiß ich nicht, wie ich die Eigenschaften des "Querens" da einbringen soll bzw. wie ich es nachrechnen soll, da ich ja kein Polynom gegeben habe, wo ich etwas einsetzten könnte.
LG Tanja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Mi 31.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Tanja,
> hallo, danke erst einmal. also bei b) und c) bin ich jetzt
> weiter gekommen, nur bei a) weiß ich nicht, wie ich die
> Eigenschaften des "Querens" da einbringen soll bzw. wie
> ich es nachrechnen soll, da ich ja kein Polynom gegeben
> habe, wo ich etwas einsetzten könnte.
>
Wenn keines gegeben ist, dann nehmen wir halt ein allgemeines:
[mm]p(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i[/mm]
wobei [mm] a_i\in\IR [/mm] (reelle Koeffizienten).
Jetzt sei [mm] x_0 [/mm] eine Nullstelle des Polynoms, dann kann man ja [mm] \bar{x_0} [/mm] in das Polynom einsetzen und wie Felix schon geagt hat einfach mal ausrechnen, was rauskommt....
Gruß
piet
>
> LG Tanja
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