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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Matrix invertieren
Matrix invertieren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrix invertieren: Invertieren im Restklassenring
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:23 Mo 23.01.2006
Autor: pi-roland

Aufgabe
Invertiere die Matrix  [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\1 & 0 & 3} [/mm] mod 26!

Hallo!

Im Grunde ist es relativ einfach eine Matrix A zu invertieren. Dazu gibt es ja die Formel [mm] A^{-1}=\bruch{1}{det A}*adj [/mm] A
Nun ist die Frage, warum wir laut Vorlesung
[mm] A^{-1}=det [/mm] A*adj A
benutzt haben. Hängt das mit dem Restklassenring zusammen, oder wie muss ich das verstehen?
Vielen Dank im Voraus,



Roland.

        
Bezug
Matrix invertieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:30 Mo 23.01.2006
Autor: Stefan

Hallo Roland!

Die Formel für die Inverse ist die Gleiche in [mm] $\IZ/26\IZ$ [/mm] wie in [mm] $\IR$. [/mm] Vermutlich handelt es sich um einen Schreibfehler.

Vielleicht sollte man der Deutlichkeit halber dann besser [mm] $(\det(A))^{-1}$ [/mm] schreiben, wobei das Inverse in [mm] $\IZ/26\IZ$ [/mm] gebildet wird, falls es existiert.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
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Matrix invertieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:44 Mo 23.01.2006
Autor: pi-roland

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Leider warf diese neue Fragen auf.
Bleiben wir mal beim Beispiel: Die Determinante ist -1 [mm] \equiv [/mm] 25 (mod 26). Die Adjunkte hinzuschreiben spar ich mir jetzt mal, aber als Ergebnis haben wir:
[mm] \pmat{ 23 & 6 & 24 \\ 2 & 23 & 1 \\ 1 & 24 & 1 } [/mm]
erhalten.
Dazu haben wir nur die Determinante mit der Adjunkte multipliziert.
Jetzt wäre die Frage wie man (det [mm] A)^{-1} [/mm] im Restklassenring ausrechnet. Schließlich wollen wir ganzzahlig bleiben.
(Leider hab ich das oben vergessen hinzuschreiben...)
Für jede Erklärung dankbar,



Roland.

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Bezug
Matrix invertieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Mo 23.01.2006
Autor: Stefan

Hallo!

Genau, und jetzt überlege mal, was das multiplikative Inverse von $-1$ ist...

Na? [lichtaufgegangen]?

Hier ist also [mm] $\det(A) [/mm] = [mm] \det(A)^{-1}$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Matrix invertieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:00 Mo 23.01.2006
Autor: pi-roland

Dankeschön.

Leider ist mir erst jetzt aufgegangen was das multiplikativ Inverse in einem Restklassenring ist.
Herzlichen Dank nochmals,


Roland.

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