Matrix lineare Abbildung besti < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Do 08.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren u,v,b [mm] \in R^4 [/mm] gemäß
u= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] v= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] b = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Matrix A der linearen Abbildung f: [mm] R^4 [/mm] -> [mm] R^4 [/mm] mit
f(x) = u<v,x> - v<u,x> [mm] \forall [/mm] x [mm] \in R^4.
[/mm]
b) Bestimmen Sie für die Unterräume Bild A und Kern A jeweils Orthonormalbasen. |
Moin, moin,
a) Bestimmen Sie die Matrix A der linearen Abbildung f: [mm] R^4 [/mm] -> [mm] R^4 [/mm] mit
f(x) = u(v,x) - v(u,x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in R^4.
[/mm]
Ich denke,ich könnte b) lösen, wenn ich auf a) käme.
Daher meine Frage, wie muss ich die Funktion f(x) bilden?
Was ist mit u<v,x> gemeint? Das Skalarprodukt? Also
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] ???
Danke & Gruß!
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> Gegeben seien die Vektoren u,v,b [mm]\in R^4[/mm] gemäß
>
> u= [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
1}[/mm] v= [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1 \\
0}[/mm]
> b = [mm]\vektor{3 \\
1 \\
1 \\
1}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Matrix A der linearen Abbildung f: [mm]R^4[/mm]
> -> [mm]R^4[/mm] mit
>
> f(x) = u<v,x> - v<u,x> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in R^4.[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie für die Unterräume Bild A und Kern A
> jeweils Orthonormalbasen.
> Moin, moin,
>
>
> a) Bestimmen Sie die Matrix A der linearen Abbildung f: [mm]R^4[/mm]
> -> [mm]R^4[/mm] mit
>
> f(x) = u(v,x) - v(u,x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in R^4.[/mm]
>
>
> Ich denke,ich könnte b) lösen, wenn ich auf a) käme.
>
> Daher meine Frage, wie muss ich die Funktion f(x) bilden?
>
> Was ist mit u<v,x> gemeint? Das Skalarprodukt? Also
>
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_4[/mm] ???
Hallo,
die eckigen Klammern stehen für das Skalarprodukt, und dieses sollst Du dann wohl mit dem Vektor vor der Klammer multiplizieren.
Wenn nichts anderes dasteht, dürfte mit dem Skalarprodukt das Standardskalarprodukt des [mm] \IR^4 [/mm] gemeint sein.
>
Es ist also f(x)=[mm]\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
1}[/mm][mm] *(x_2+x_3)-[/mm] [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1 \\
0}[/mm] [mm] *(x_1+x_4).
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Danke & Gruß!
>
</v,x></u,x></v,x>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Do 08.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
Super, dann bin ich einen Schritt weiter!
Daraus würde ich jetzt eine Matrix aufstellen...
f(x) = [mm] \vektor{x_2+x_3 \\ x_1+x_4 \\ x_1+x_4\\ x_2+x_3} [/mm]
=> A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1& 0& 0& 1\\ 0 & 1&1 &0}
[/mm]
richtig?
Aus der Matrix A würde ich dann einen Unterraumbestimmen, in dem ich das Gauss-Verfahren anwende... richtig?
Danke & Gruß!
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> Super, dann bin ich einen Schritt weiter!
>
> Daraus würde ich jetzt eine Matrix aufstellen...
>
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> f(x) = [mm]\vektor{x_2+x_3 \\
x_1+x_4 \\
x_1+x_4\\
x_2+x_3}[/mm]
>
> => A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1& 0& 0& 1\\
0 & 1&1 &0}[/mm]
>
> richtig?
Hallo,
ja.
>
> Aus der Matrix A würde ich dann einen Unterraumbestimmen,
> in dem ich das Gauss-Verfahren anwende... richtig?
Du meinst "indem", nicht wahr?
Ja. Bring die Matrix auf ZSF und bestimme daraus dann eine Basis von Bild und Kern.
Gruß v. Angela
>
> Danke & Gruß!
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Do 08.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1& 0& 0& 1\\
0 & 1&1 &0}[/mm]
Die umgeformte Matrix:
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 &0 }
[/mm]
=> Unterraum U ={ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] }
richtig?
Der Kern der Matrix ist die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems... also in diesem Falle, des Gleichungssystems, das sich aus den drei Vektoren des Unterraums ergibt. Richtig?
Muss ich dann ein bestimmtes [mm] x_3 [/mm] oder [mm] x_4 [/mm] wählen?
Das Bild der Matrix...
Wie gehe ich da vor?
Ich habe die Matrix transponiert...
[mm] A^T [/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1& 0& 0& 1\\
0 & 1&1 &0}[/mm]
(identisch mit A, ist wohl hier eine Besonderheit)
umgeformt... [mm] A^T [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 &0 }
[/mm]
also sind die Bilder der Matrix (wie bezeichne ich das?)
{ [mm] \vektor{0\\1 \\1\\0} [/mm] , [mm] \vektor{1\\ 0\\ 0 \\ 1} [/mm] }
richtig?
Nun frage ich mich, was hat der gegebene Vektor b mit der Fragestellung zu tun???
Danke für eure Hilfe!
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> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1& 0& 0& 1\\
0 & 1&1 &0}[/mm]
>
>
> Die umgeformte Matrix:
>
> [mm] A^{\red{'}} [/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 &0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
diese Matrix ist nicht in Zeilenstufenform.
ZSF wäre dies: A''=$\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\0&1&1&0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 &0 }$
>
> => Unterraum U ={ [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1 \\
0}, \vektor{1 \\
0 \\
0 \\
1}, \vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Von welchem Unterraum redest Du gerade?
Einen Unterraum, welcher nur 3 Vektoren enthält, gibt es bei Vektorräumen über dem Körper \IR nicht.
Möglicherweise meinst Du das Erzeugnis/die lineare Hülle? Diese schreibt man in spitzen oder in eckigen Klammern oder mancherorts auch als Lin\{...\} oder LH\{...\}. Weitere Schreibweisen sind denkbar.
Im Zusammenhang mit Matrizen haben wir es i.d.R. mit zwei Unterräumen zu tun:
1. mit dem Bild der Matrix, also dem Raum, der von den Spalten erzeugt wird,
2. mit dem Kern der Matrix, also der Lösungsmenge von Ax=0.
Man gibt diese normalerweise an, indem man eine Basis des betreffenden Raumes mitteilt.
> }
>
> richtig?
>
>
> Der Kern der Matrix ist die Lösungsmenge des homogenen
> Gleichungssystems...
Genau.
> also in diesem Falle, des
> Gleichungssystems, das sich aus den drei Vektoren des
> Unterraums ergibt. Richtig?
Ich weiß nicht genau, was du meinst.
Der Kern ist die Lösungsmenge von Ax=0, und diese ist gleich der Lösungsmenge von A''x=0.
>
> Muss ich dann ein bestimmtes [mm]x_3[/mm] oder [mm]x_4[/mm] wählen?
Kochrezept:
bring die Matrix auf ZSF.
Markiere die führenden Elemente der Nichtnullzeilen.
Die zu den Spalten gehörenden Variablen, in denen kein führendes Element steht, kannst Du frei wählen.
Hier: [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] können frei gewählt werden.
Mit [mm] x_3:=s
[/mm]
[mm] x_4:=t
[/mm]
bekommt man
[mm] x_1=-x_4=-t
[/mm]
[mm] x_2=-x_3=-s.
[/mm]
Also haben alle Vektoren x des Kerns die Gestalt [mm] x=\vektor{-t\\-s\\s\\t}=s*\vektor{0\\-1\\1\\0}+t*\vektor{-1\\0\\0\\1}.
[/mm]
Damit ist ??? eine Basis des Kerns von A.
Falls diese nicht orthonormal ist, mußt Du sie noch orthonormalisieren.
>
>
> Das Bild der Matrix...
>
> Wie gehe ich da vor?
>
> Ich habe die Matrix transponiert...
>
> [mm]A^T[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1& 0& 0& 1\\
0 & 1&1 &0}[/mm]
>
> (identisch mit A, ist wohl hier eine Besonderheit)
>
>
> umgeformt... [mm]A^T[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 &0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> also sind die Bilder der Matrix (wie bezeichne ich das?)
>
> { [mm]\vektor{0\\
1 \\
1\\
0}[/mm] , [mm]\vektor{1\\
0\\
0 \\
1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> richtig?
Gewöhne Dir an, die Matrix auf ZSF zu bringen.
Hier ist das nicht so wild, aber i.a. trägt es zur Übersicht bei.
Ja, bei der von Dir gewählten Vorgehensweise sind die zu Spalten aufgerichteten Zeilen der ZSF eine Basis des Bildes von A.
Auch hier ist ggf. noch zu orthonormalisieren, um der Aufgabenstellung zu genügen.
>
>
> Nun frage ich mich, was hat der gegebene Vektor b mit der
> Fragestellung zu tun???
Bisher absolut nichts.
Ich würde erwarten, daß sich weitere Teilaufgaben anschließen, daß man z.B. die Lösung von Ax=b sagen soll.
Gruß v. Angela
>
> Danke für eure Hilfe!
>
>
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>
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Do 08.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
Ja, ich meinte natürlich indem. Danke für den Hinweis!
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> Ja, ich meinte natürlich indem. Danke für den Hinweis!
Hallo,
es ging mir hier aber nicht um einen kleinen Flüchtigkeitsfehler, sondern um den Sinn dessen, was du schriebst. Ich hoffe, du hast das nicht falsch aufgefaßt!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 So 11.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
nein habe ich nicht. Ich bin mit Sprache recht tief verbunden, und selbstverständlich macht es einen (semantischen) Unterschied ob ich "in dem" oder "indem" schreibe. 
Manchmal hakt bei meiner Tastatur die Leertaste... manchmal schreibe ich unter großem Zeitdruck... Nichts für ungut!
Schönen 3. Advent!
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