www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - MatrizenMatrix mit Parameter
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrix mit Parameter
Matrix mit Parameter < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Matrix mit Parameter: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:11 Sa 19.01.2013
Autor: ellegance88

Aufgabe
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm]

Das da oben ist die Matrix [mm] A_a [/mm]

b=  [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm]

1) Bestimmen Sie [mm] Lös(A_a; [/mm] b) (in Abhängigkeit von a).

Dazu habe ich mal eine Frage, wenn da nur einmal ein a vorkommen würde wäre das ja kein Problem aber ich verstehe nicht wie ich es in einer Zeilenstufenform bringen soll weil unten links ein a ist. wie mache ich dieses a zur 0?

[mm] \begin{pmatrix} -1+a & -1+a & -a+a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a-1 & 0 & 1-a \end{pmatrix} [/mm]

b= [mm] \begin{pmatrix} -1+a \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm]

das hatte ich mal bei einem Versuch raus, müsste aber glaub falsch sein.
(ich habe es nicht hinbekommen b noch rechts in die Matrix reinzuschreiben)

        
Bezug
Matrix mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:53 Sa 19.01.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das da oben ist die Matrix [mm]A_a[/mm]
>
> b= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> 1) Bestimmen Sie [mm]Lös(A_a;[/mm] b) (in Abhängigkeit von a).
> Dazu habe ich mal eine Frage, wenn da nur einmal ein a
> vorkommen würde wäre das ja kein Problem aber ich
> verstehe nicht wie ich es in einer Zeilenstufenform bringen
> soll weil unten links ein a ist. wie mache ich dieses a zur
> 0?

Das ist eine seltsame Frage. Ich denke zwar, dass ich verstehe was du meinst, aber du solltest dir angewöhnen, in der Mathematik sprachlich viel präziser zu sein. Und gründlicher auch:

>
> [mm]\begin{pmatrix} -1+a & -1+a & -a+a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a-1 & 0 & 1-a \end{pmatrix}[/mm]
>

Die Reihenfolge in der du vorgegangen bist, ist sehr schwer nachvollziehbar. Abgesehen davon, dass man beim Gaussverfahren zweckmäßigerweise darauf achtet, bei der Reihenfolge der Zeilenumformungen ein gewisses Schema einzuhalten, ist mindestens eine deiner Additionen sinnlos. Der Eintrag oben rechts ist

-a+a=0

so etwas sollte man merken.

Und deine eigentliche Frage zielt vermutlich darauf, wie du jetzt die Zeilenstufenform vollends realisierst. Nun, es ist

-1+a=a-1

das sollte als Tipp eigentlich genügen. Du musst also noch die erste und die dritte Zeile voneinander subtrahieren.

>
> b= [mm]\begin{pmatrix} -1+a \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}[/mm]
>
> das hatte ich mal bei einem Versuch raus, müsste aber
> glaub falsch sein.

Der Lösungsvektor scheint mir bis dahin richtig zu sein. Aber es ist dir schon klar, dass du mit Ermittlung des LÖsungsvektors nicht fertig bist sondern dass es hier um die Struktur der Lösungsmenge eines LGS geht?


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Matrix mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:14 Sa 19.01.2013
Autor: ellegance88

$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $

mein erster Schritt war die zweite Zeile minus die erste Zeile.
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $

der vektor wäre $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] $

dann die dritte Zeile minus die erste zeile:

$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a-1 & 0 & 1-a \end{pmatrix} [/mm] $

der vektor wäre $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm] $

nun komm ich nicht weiter. ja ich weiß das es ein LGS ist ^^ aber brauch ja erstmal eine Stufenform damit ich es danach ausrechnen kann.

jetzt musst doch unten links anstatt a-1 noch eine 0 stehen damit ich das LGS lösen kann in Abhängigkeit von a. und das war meine Frage wie bekomme ich das hin? bzw. ist das bis hierhin richtig?


Bezug
                        
Bezug
Matrix mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:22 Sa 19.01.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> mein erster Schritt war die zweite Zeile minus die erste
> Zeile.
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> der vektor wäre [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
>

ok, das wäre mir jetzt klar, und es ist richtig.

> dann die dritte Zeile minus die erste zeile:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a-1 & 0 & 1-a \end{pmatrix}[/mm]
>
> der vektor wäre [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}[/mm]
>

Das ergibt keinen Sinn. Du solltest zunächst dafür sorgen, dass du in der linken Spalte bis auf die oberste Zeile Nullen bekommst. Also rechne mal

(3)-a*(1)

dann dürfte sich dein Problem hierauf reduzieren:

[mm]\left( \begin {array}{ccc|c} 1&1&a&1\\ 0&a-1&1-a&2\\ 0&1-a&1-a^2&-4-a\end {array} \right) [/mm]

Klick mal auf meine obige Matrix, um dir den Quelltext anzusehen. Ich geb ja zu, das ist von der Syntax her nicht so ganz einfach, aber das ist halt LaTeX hier, das musst du sowieso irgendwann lernen. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Matrix mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:42 Sa 19.01.2013
Autor: ellegance88

Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

ja genau das war mein Problem.
Ich wusste ja nicht wie ich in der linken Spalte letze Zeile die 0 bekomme deswegen habe ich schon die nächste Spalte angeguckt und das war mein Fehler.

$ \left( \begin {array}{ccc|c} 1&1&a&1\\ 0&a-1&1-a&2\\ 0&1-a&1-a^2&-4-a\end {array} \right) $

nun hab ich noch ein Problem. wenn ich die dritte Zeile plus die zweite rechne, bekomme ich:

$ \left( \begin {array}{ccc|c} 1&1&a&1\\ 0&a-1&1-a&2\\ 0&0&2-a^2-a&-2-a\end {array} \right) $

nun stellt sich die Frage wie berechne ich das weiter? :S

ich habe ja stehen: (2-a^2-a)z = -2-a
wenn ich es nach z umforme steht doch da:
z= \bruch{-2-a}{-a^2-a+2}

oder ist das komplett falsch? :S

Bezug
                                        
Bezug
Matrix mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Sa 19.01.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> ja genau das war mein Problem.
> Ich wusste ja nicht wie ich in der linken Spalte letze
> Zeile die 0 bekomme deswegen habe ich schon die nächste
> Spalte angeguckt und das war mein Fehler.
>
> [mm]\left( \begin {array}{ccc|c} 1&1&a&1\\ 0&a-1&1-a&2\\ 0&1-a&1-a^2&-4-a\end {array} \right)[/mm]
>
> nun hab ich noch ein Problem. wenn ich die dritte Zeile
> plus die zweite rechne, bekomme ich:
>
> [mm]\left( \begin {array}{ccc|c} 1&1&a&1\\ 0&a-1&1-a&2\\ 0&0&2-a^2-a&-2-a\end {array} \right)[/mm]
>
> nun stellt sich die Frage wie berechne ich das weiter? :S
>
> ich habe ja stehen: [mm](2-a^2-a)z[/mm] = -2-a
> wenn ich es nach z umforme steht doch da:
> z= [mm]\bruch{-2-a}{-a^2-a+2}[/mm]
>
> oder ist das komplett falsch? :S

nein, das ist bis dahin jetzt komplett richtig. :-)

Jetzt kommt ja erst die eigentliche Aufgabe: Gibt es Werte für a, so dass es keine Lösung für z gibt? Gibt es Werte, so dass es unendlich viele Lösungen gibt? Diese Werte sind zu ermitteln um dann die Struktur der Lösungsmenge in Abhängigkeit von a angeben zu können. Vorher würde ich aber zur Sicherheit noch die beiden anderen Lösungen berechnen, also in deiner Schreibweise die für x und y.


Gruß, Diophant


Bezug
                                                
Bezug
Matrix mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 Sa 19.01.2013
Autor: ellegance88

Ich habe jetzt die pq-Formel angewendet und habe die NS bei -2 und 1. da der Nenner niemals Null werden darf. Es gibt keine lösung wenn a= -2 oder 1  ist. und für a ungleich -2 und 1 gibt es unendlich viele lösungen?

Richtig?

und für x bzw y muss ich es doch gar nicht mehr machen oder? (es wäre denn nur für die eigene Sicherheit als Probe) oder?

Bezug
                                                        
Bezug
Matrix mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:16 Sa 19.01.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich habe jetzt die pq-Formel angewendet und habe die NS bei
> -2 und 1. da der Nenner niemals Null werden darf. Es gibt
> keine lösung wenn a= -2 oder 1 ist. und für a ungleich
> -2 und 1 gibt es unendlich viele lösungen?
>
> Richtig?

Nein, das ist nicht richtig. Für a=-2 werden ja Zähler und Nenner Null. Um dir kloar zu machen, was hier passiert, betrachtest du besser die Gleichung


[mm] (-2-a)=(-a^2-a+2)*z [/mm]

Für [mm] a\in\IR\\\{-2;1\} [/mm] gibt es eine eindeutige Lösung, nicht unendlich viele.

>
> und für x bzw y muss ich es doch gar nicht mehr machen
> oder? (es wäre denn nur für die eigene Sicherheit als
> Probe) oder?

Das hat nichts mit der Probe zu tun. Du musst sowieso den Lösungsvektor angeben, und den hast du erst, wenn die Koeffizientenmatrix komplett diagonalisisert ist. Und ganz nebenbei: es sind auch Lösungsmengen vorstellbar, in denen einzelne Komponenten konstant und andere von einem Parameter abhängig sind. Das ist zwar hier nicht so, aber man weiß es nicht, bevor man es nicht berechnet hat.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Matrix mit Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:21 Sa 19.01.2013
Autor: ellegance88

okay danke :) hab es verstanden. nun erstmal ne Frühstückspause,

vielen daaank :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]