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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Sa 22.10.2011 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Seien A ein kommutativer Ring mit 1, I ein Ideal in A und M eine quadratische Matrix mit Koeffizienten aus I.
Behauptung: das charakteristische Polynom von M hat die Form
[mm] x^{n}+f(x) [/mm] mit $ [mm] f\in [/mm] I[x] $ |
Hallo!
Also über [mm] \IZ [/mm] scheint die Aussage zumindest für 2x2 und 3x3 und trivialerweise natürlich auch für 1x1-Matrizen zu stimmen. Da [mm] \IZ [/mm] ein Hauptidealring ist, könnte man das für einzelne Größen auch sicherlich durch ein wenig Aufwand nachrechnen, aber wie stelle ich das im Allgemeinen an? Stimmt die Aussage dabei überhaupt noch?
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moin valoo,
Das charakteristische Polynom ist ja auf jeden Fall immer ein Polynom.
Die Frage ist also, ob es möglich ist das im Polynom Vorfaktoren vorkommen, die zwar im Ring aber nicht im Ideal enthalten sind.
Um diese zu beantworten musst du dir erstmal überlegen was du über Ideale weißt, wie sind sie definiert, etc.?
Dann stellt sich die Frage: Wie berechnet man das charakteristische Polynom?
Wenn du einen schönen, allgemeinen Weg hast es zu berechnen dann überleg dir - mit Hilfe der Eigenschaften eines Ideals - ob es möglich ist beim Berechnen Koeffizienten zu bekommen, die nicht im Ideal liegen, oder ob alle drinn liegen MÜSSEN.
Da du das ganze nicht für beliebig große Matrizen nachrechnen kannst wäre es natürlich auch nicht ganz verkehrt ein schönes rekursives Verfahren anzugeben und damit zu argumentieren (nur mal so als Tipp^^).
lg
Schadow
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