Matrix und diekanonische Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
| Aufgabe | Fuer die im folgenden gegebenen linearen Abbildungen A: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] untersuche man jeweils , ob es eine Basis B von [mm] \IR^{2} [/mm] und Zahlen [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] gibt, so dass A bezueglich der Basis B durch die Matrix
[mm] \pmat{ \alpha & 0 \\ 0 & \beta }
[/mm]
beschrieben wird; gegenbenfalls bestimme man B, [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] .
(i) A wird bezueglich der kannischen Basis von [mm] \IR^{2} [/mm] durch die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1\\ 1& 0} [/mm] gegenben.
(ii) A wird bezueglich der kannischen Basis von [mm] \IR^{2} [/mm] durch die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1\\ -1& 0} [/mm] gegenben.
Bemerkung : [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind Eigenwerte von A .
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Hallo ihr lieben !
Koennt ihr mir helfen ?
Gruss Lavanya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Lavanya!
Es sei $V$ ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper $K$ und [mm] $f:V\to [/mm] V$ eine lineare Abbildung. Wir sagen, $f$ sei diagonalisierbar, wenn es eine Basis [mm] $B\subset [/mm] V$ von $V$ gibt, sodass $_B M _B (f)$ Diagonalgestalt besitzt.
Eine lineare Abbildung $f$ ist also genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis von Eigenvektoren von $f$ gibt; zur Erinnerung: ein Vektor [mm] $v\in V\setminus\{0\}$ [/mm] heißt Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert [mm] $\lambda\in\IK$, [/mm] wenn [mm] $f(v)=\lambda [/mm] v$.
Es ist also gefragt, welche der dir gegebenen linearen Abbildungen diagonalisierbar sind und welche nicht.
Um diese Aufgabe zu lösen, bedarf es einiger leicht zu verstehender Kriterien zur Diagonalisierbarkeit einer linearen Abbildung. Dabei ist der Begriff des charakteristischen Polynomes von Bedeutung. Folgende Überlegungen werden ihn uns/dir näher bringen:
Nehmen wir an, [mm] $v\in [/mm] V$ sei Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert [mm] $\lambda\in\IK$; [/mm] nach Definition ist dies äquivalent zu [mm] $f(v)=\lambda v\gdw f(v)-\lambda v=(f-\lambda id_V)(v)=0\gdw v\in ker(f-\lambda id_V)$. [/mm] Es sei [mm] $M\in\IK^{n\times n}$ [/mm] eine Darstellungsmatrix von $f$, dann ist [mm] $M-\lambda [/mm] E$ Darstellungsmatrix von [mm] $f-\lambda id_V$. [/mm] Es gilt stets $rang(M)=dim(bild(f))$ und weiter $dim(bild(f))+dim(kern(f))=n$. Da [mm] $0\neq v\in ker(f-\lambda id_V)$, [/mm] ist [mm] $dim(ker(f-\lambda id_V))\geq [/mm] 1$, also [mm] $dim(bild(f-\lambda id_V))=rang(M-\lambda [/mm] E)<n$. Dies wiederum ist äquivalent zu [mm] $det(M-\lambda [/mm] E)=0$. Wir sehen also: genau dann ist [mm] $\lambda\in\IK$ [/mm] Eigenwert von $f$ (d.h. es gibt ein [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $f(v)=\lambda [/mm] v$), wenn [mm] $det(M-\lambda [/mm] E)=0$ ist. Die Eigenwerte von $f$ sind also genau die Nullstellen des Polynomes [mm] $det(M-x\cdot [/mm] E)$; dieses Polynom bezeichnet man auch als charakteristisches Polynom der linearen Abbildung $f$ und bezeichnet es als [mm] $\chi_f$. [/mm]
Wenn eine lineare Abbildung in $V$ [mm] ($n=dim(V)\geq [/mm] 1$) diagonalisierbar sein soll, so muss sie wenigstens einen Eigenwert, ihr charakteristisches Polynom also wenigstens eine Nullstelle besitzen. Damit können wir schon die 2. dir gegebene Abbildung untersuchen: für sie ist [mm] $\chi_f(x)=det\pmat{-x & 1 \\-1 & -x}=x^2+1$. [/mm] Dieses Polynom besitzt keine reellen Nullstellen: die Abbildung besitzt also keine reellen Eigenwerte, ist insbesondere nicht diagonalisierbar.
Bei der 1. Abbildung sieht es schon anders aus. Dort ist [mm] $x^2-1=(x-1)(x+1)$ [/mm] das charakteristische Polynom, somit $1,-1$ Eigenwerte von $f$. Es lassen sich also [mm] $v_1,v_2\in [/mm] V$ mit [mm] $f(v_1)=v_1, f(v_2)=-v_2$ [/mm] auswählen. Verwenden wir nun noch die Tatsache, dass Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind, folgt, dass [mm] $\{v_1,v_2\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IR^2$ [/mm] ist und $f$ bzgl. dieser Basis die gewünschte Form hat. Vektoren [mm] $v_1,v_2$ [/mm] zu suchen und vielleicht den Beweis des eben genannten Satzes zu versuchen, überlasse ich dir.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
Hi Hanno,...
Danke ...
du hast mir ja die ganze Aufgabe gemacht? Eigentlich wollte ich nur Ansaetze haben, aber trortztdem danke....
eine Frage: Hast du das alleine gemacht? du scheinst noch jung zu sein, wie hast du das gemacht ?
ich hab mir das noch nichts durchgelesen, weil ich jetzt muede bin...
ich werd mir das jetzt morgen mal angucken und bei Fragen, werd ich mich noch mal melden.
Ciao
lavanya
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