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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Phecda |
Guten Abend ... hab eine lezte frage für den heutigen tag
Man bestätige durch voll. Induktion nach n:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}^n [/mm] =
[mm] \pmat{ 1 & n & 1/2n(n-1) \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Induktionsanfang hab ich ja auch schon gemacht. für n =1 stimmt das ganze.
Wie soll ich nun [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}^{n+1} [/mm] zu [mm] \pmat{ 1 & n+1 & 1/2(n+1)n \\ 0 & 1 & n+1 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] umformen?
Hat jmd ein Tip ich würde gerne selbst dran weiterarbeiten ...
Danke
mfg Phecda
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Hallo Phecda,
nun, du hast also Induktionsvoraussetzung doch für [mm] $n\in\IN$:
[/mm]
[mm] $\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}^n =\pmat{ 1 & n & \frac{1}{2n(n-1)} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1}$
[/mm]
Dann ist doch:
[mm] $\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}^{n+1}=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1} ^n\cdot{}\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}=...$
[/mm]
Hier nun die Induktionsvoraussetzung benutzen...
Klappt's so?
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
das war wohl etwas schnell 
Wie sieht genau das Element [mm] a_{1,3} [/mm] in der Matrix [mm] A^n=(a_{i,j}) [/mm] aus?
Wie hast du denn den Induktionsanfang für n=1 gemacht?
Steht da nicht im Nenner ne 0?? [mm] \frac{1}{2\cdot{}1(1-1)} [/mm] ??
Gib bitte das Element [mm] a_{1,3} [/mm] nochmal genau an.
Der Induktionsschritt, so wie ich dachte, dass er funktioniert, funktioniert mit diesem [mm] a_{1,3}\qquad \left(=\frac{1}{2n(n-1)}\right) [/mm] auch nicht ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 11.10.2007 | | Autor: | Phecda |
Hi
sry also da ist wohl ein missverständnis passiert... a13 ist 0,5*n*(n-1).. er bruchstrich bezog sich nur auf 1/2
die frage bleibt also weiterhin offen
sry
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Do 11.10.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich will man den Ansatz von schachuzipus weiterverfolgen; unter Berücksichtigung, dass
> Hi
> sry also da ist wohl ein missverständnis passiert... a13
> ist 0,5*n*(n-1).. er bruchstrich bezog sich nur auf 1/2
> die frage bleibt also weiterhin offen
> sry
>
> mfg
Induktionsanfang hast du!
InduktionsVoraussetzung
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}^n=\pmat{ 1 & n & \bruch{1}{2}*n(n-1) \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1} [/mm] für [mm] n\in\IN
[/mm]
Induktionsschritt
> [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}^{n+1}=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1} ^n\cdot{}\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}=...
[/mm]
Hier nutzt du die IV (InduktionsVoraussetzung)
[mm] ..=\pmat{ 1 & n & \bruch{1}{2}*n(n-1) \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1}*\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & n+1 & \blue{n+\bruch{1}{2}*n(n-1)} \\ 0 & 1 & n+1 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Sieht doch ganz gut aus, bis auf den blauen Teil, aber...
[mm] \blue{n+\bruch{1}{2}*n(n-1)}=n+\bruch{1}{2}n^2-\bruch{1}{2}n=\bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{2}n=\bruch{1}{2}*(n+1)*n
[/mm]
Und das passt ja
Insgesamt:
[mm] \pmat{ 1 & n & \bruch{1}{2}*n(n-1) \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1}*\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}=\pmat{ 1 & n+1 & \bruch{1}{2}*(n+1)*n \\ 0 & 1 & n+1 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
MfG barsch
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