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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Fr 14.07.2006 | | Autor: | djgd |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich brauche für eine Aufgabe die Inverse folgender Matrix:
1 a a²
0 b 2ab
0 0 b²
Gibt es überhaupt eine Lösung? Ich verhaspel mich immer.
Vielen Dank im Voraus
David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Fr 14.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich brauche für eine Aufgabe die Inverse folgender Matrix:
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> 1 a a²
> 0 b 2ab
> 0 0 b²
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> Gibt es überhaupt eine Lösung? Ich verhaspel mich immer.
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> Vielen Dank im Voraus
>
>
> David
Hallo David.
Es gibt eine Lösung.
Und zwar kann man sie wie folgt berechnen.
Man bringt die zu invertierende Matrix auf die Einheitsmatrix. Gleichzeitig macht man die dazu notwendigen Schritte an der Einheitsmatrix. (Ich zeige es dir im Artikel.) Die daraus enstehende Matrix ist die Matrix [mm] A^{-1}.
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & a & a² \\ 0 & b & 2ab \\ 0 & 0 & b²} \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Wenn du jetzt in beiden Matrizen die zweite Zeile durch b teilst und die dritte durch b², erhältst du.
[mm] \pmat{ 1 & a & a² \\ 0 & 1 & 2a \\ 0 & 0 & 1} \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{b} & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{b²} }
[/mm]
Jetzt die letzte Zeile mit 2a multiplizieren und von der zweiten subtrahieren. (Zeile 1 und drei bleiben)
[mm] \pmat{ 1 & a & a² \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{b} & -\bruch{2a}{b²} \\ 0 & 0 & \bruch{1}{b²} }
[/mm]
Jetzt die mit a² multiplizierte letzte Zeile von der ersten subtrahieren.
[mm] \pmat{ 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} \pmat{ 1 & 0 & -\bruch{a}{b} \\ 0 & \bruch{1}{b} & -\bruch{2a}{b²} \\ 0 & 0 & \bruch{1}{b²} }
[/mm]
Jetzt noch die ersten beiden Zeilen bearbeiten.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} \pmat{ 1 & 0 & -\bruch{a}{b} \\ 0 & -\bruch{a}{b} & -\bruch{2a}{b²} \\ 0 & 0 & \bruch{1}{b²} }
[/mm]
Der hintere Teil, also
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -\bruch{a}{b} \\ 0 & -\bruch{a}{b} & -\bruch{2a}{b²} \\ 0 & 0 & \bruch{1}{b²} }
[/mm]
ist jetzt deine Inverse Matrix. (vorausgesetzt, ich hab mich nicht verrechnet)
Du kannst das ganze jetzt noch prüfen, indem du deine inverse matrix mit deiner Startmatrix multiplizierst. Dann sollte die Einheitsmatrix rauskommen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 So 16.07.2006 | | Autor: | felixf |
Sali!
Eine kleine Anmerkung: Die Rechnung stimmt natuerlich nur, wenn $b$ ein multiplikativ Inverses besitzt. Andernfalls ist die Determinante der urspruenglichen Matrix (die Determinante ist [mm] $b^3$) [/mm] keine Einheit und die Matrix ist somit nicht invertierbar.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Fr 14.07.2006 | | Autor: | djgd |
Hallo Marius,
vielen Dank für die schnelle Hilfe. Ich habe versucht die Rechenschritte nachzuvollziehen und habe vor allen Dingen das Ergebnis gecheckt. Ich komme mit der Inversen nicht auf die Einheitsmatrix. Keine Ahnung ob es an mir liegt.
Wenn es aber noch mal jemand nachprüfen würde, wäre ich sehr dankbar.
David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Fr 14.07.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
da scheinen wirklich noch irgendwo rechenfehler drinne zu sein - aber ich hoffe, das Prinzip ist klar geworden, oder?
ein CAS deiner Wahl würde dir folgende Inverse geben:
[mm] $\pmat{ 1 & -\bruch{a}{b} & \bruch{a^2}{b^2} \\ 0 & -\bruch{1}{b} & -\bruch{2a}{b²} \\ 0 & 0 & \bruch{1}{b²} } [/mm] $
wenn man kein CAS zur Verfügung hat, kann man solch simple Rechnungen auch online nachprüfen, z.B. auf ![[]](/images/popup.gif) www.quickmath.com
(damit hab ich das sogar eben ausgerechnet..)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:58 Sa 15.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo David,
Sorry, dass ich mich dabei irgendwo verrechnet habe, aber das Prinzip führt auf jeden Fall zum Ziel, die Matrix zu invertieren.
Wenn du das selber machen willst, mach dir am besten hinter die Matrix Notizen, welche Zeile du womit multiplizierst und welche Zeilen du addierst/subtrahierst.
Marius
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