Matrixberechnung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Do 06.01.2005 | | Autor: | Schlomi |
Hallo..
da mein Abitur schon ne Weile her ist, ich aber beruflich jetzt wieder stärker mit dem Mathezeugs "kontaminiert" werde, brauch ich mal eure Hilfe. Ich denke mal für Cracks kein wirkliches Problem
A = [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Wie löse ich das am elegantesten?! Keine Lösung. Der Algorithmus ist ausreichend.
(da ich die Matrix nicht korrekt darstellen konnte
1 = cos [mm] \alpha
[/mm]
2 = - sin [mm] \alpha
[/mm]
3 = sin [mm] \alpha
[/mm]
4 = cos [mm] \alpha
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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So, wie du's hingeschrieben hast, geht die Multiplikation gar nicht.
Entweder transponierst du den Vektor: [mm](x\ ,\ y)^T \cdot \pmat{1 & -2 \\ 3 & 4}[/mm], oder du vertauschst die Reihenfolge der Multiplikation: [mm]\pmat{1 & -2 \\ 3 & 4} \cdot \vektor{x \\ y}[/mm].
Vorsicht: du hast "2" als [mm]-sin(\alpha)[/mm] definiert, also sollte die Matrix wahrscheinlich doch eher so aussehen: [mm]\pmat{1 & 2 \\ 3 & 4}[/mm], oder?
Da das ganze doch sehr nach ner Drehmatrix aussieht, gilt wohl mein zweiter Vorschlag: Reihenfolge der Multiplikation vertauschen.
So wird dann der Vektor [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] um den Winkel [mm]\alpha[/mm] gedreht.
[mm]\pmat{1 & 2 \\ 3 & 4} \cdot \vektor{x \\ y}\ =\ \vektor{1 \cdot x + 2 \cdot y \\ 3 \cdot x + 4 \cdot y}[/mm].
Oder in der sin-cos-Form: [mm]\pmat{cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)} \cdot \vektor{x \\ y}\ =\ \vektor{x \cdot cos(\alpha) - y \cdot sin(\alpha) \\ x \cdot sin(\alpha) + y \cdot cos(\alpha)}[/mm]
Der Vektor (bzw. die erste Spalte der zweiten Matrix, was hier auf's selbe hinausläuft) wird über die Matrix "gezogen", und um 90° nach links gekippt, so dass die auf der ersten Matrix "liegt". Jetzt "rutscht" sie zeilenweise durch die erste Matrix durch. Und was dabei passiert (bzw. was gerechnet werden muss), kannst du dir ja aus meiner Rechnung erschliessen.
Oder "richtig allgemein", in mathematischer Sprache: als [mm](n \times m)[/mm]-Matrix wird eine Matrix mit n Zeilen und m Spalten bezeichnet (Zeilen zuerst, Spalten später).
Eine Multiplikation ist nur dann möglich, wenn die Anschlusszahlen stimmen, d.h. wenn [mm](i \times j) \cdot (j \times k)[/mm] ist (wegen dem j: Spaltenzahl der ersten = Zeilenzahl der zweiten Matrix). Das Ergebnis ist dann eine [mm](i \times k)[/mm]-Matrix.
Formel: [mm]c_{ik}=\summe_{j=1}^{n} {(a_{ij} \cdot b_{jk})}[/mm] für das Produkt [mm]A \cdot B = C[/mm] mit [mm]A=(a_{ij})[/mm], [mm]B=(b_{jk})[/mm].
Ach ja, ein Vektor ist auch nur ein Spezialfall einer Matrix, nämlich eine [mm](n \times 1)[/mm]-Matrix: n Zeilen, 1 Spalte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Do 06.01.2005 | | Autor: | Schlomi |
Löse ich diesen Ausdruck:
[mm] \pmat{ x * cos \alpha - y * sin \alpha \\ x * sin \alpha + y * cos \alpha }
[/mm]
indem ich einfach die x und y koordinaten einsetze?! d.h. den x - wert in die obere Zeile und den y - wert in die zweite Zeile?
Das mit der Formel die die mir gepostet hast hab ich nicht verstanden! Oder gehört die garnicht zum Lösungsweg dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Do 06.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Löse ich diesen Ausdruck:
>
> [mm]\pmat{ x * cos \alpha - y * sin \alpha \\ x * sin \alpha + y * cos \alpha }
[/mm]
>
>
> indem ich einfach die x und y koordinaten einsetze?! d.h.
> den x - wert in die obere Zeile und den y - wert in die
> zweite Zeile?
Einen Term kann man nicht lösen, man kann nur Gleichungen lösen. Du meinst vermutlich: Wie setze ich einen Vektor [mm] $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ [/mm] jetzt ein? Ja, das geht so, dass du einfach die Komponenten einsetzt in die beiden Koordinatenabbildungen.
> Das mit der Formel die die mir gepostet hast hab ich nicht
> verstanden! Oder gehört die garnicht zum Lösungsweg dazu?
E.Kandrai wollte dir die ![[]](/images/popup.gif) Matrizenmultiplikation erklären. Da ein Vektor eine spezielle Matrix ist, kann man dies hier tun.
Wichtig für dich ist einfach nur, dies am Beispiel einer $(2 [mm] \times [/mm] 2)$-Matrix und einem zweidimensionalen Vektor nachzuvollziehen:
[mm] $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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