Matrixnorm < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 Do 08.11.2012 | | Autor: | Blubie |
| Aufgabe | Eine beliebige Matrixnorm [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{M} [/mm] wird durch eine Vektornorm [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{V} [/mm] induziert, falss das Folgende gilt:
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{M}=sup\bruch{\parallel Ax \parallel_{V}}{\parallel x \parallel_{V}}. [/mm] Zeige dass die Matrixnorm [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{2}:=\wurzel{\lambda_{max}(AA^{T})} [/mm] durch die Euklidische Norm induziert wird. (x [mm] \not= [/mm] 0, A [mm] \in \IR^{mxn}) [/mm] |
Hallo,
ich bin kein Mathematiker und tue mir mit dieser Aufgabe sehr schwer. x wird wohl aus [mm] \IR^{nx1} [/mm] sein. Aber muss ich das nun für alle x oder nur für eins zeigen und vor allem wie kann ich sowas zeigen? Ich habe leider überhaupt keine idee und hoffe, dass jemand für mich einen Hinweis hat.
|
|
| |
|
> Eine beliebige Matrixnorm [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel_{M}[/mm] wird
> durch eine Vektornorm [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel_{V}[/mm] induziert,
> falss das Folgende gilt:
> [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_{M}=sup\bruch{\parallel Ax \parallel_{V}}{\parallel x \parallel_{V}}.[/mm]
> Zeige dass die Matrixnorm [mm]\parallel[/mm] A
> [mm]\parallel_{2}:=\wurzel{\lambda_{max}(AA^{T})}[/mm] durch die
> Euklidische Norm induziert wird. (x [mm]\not=[/mm] 0, A [mm]\in \IR^{mxn})[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bin kein Mathematiker und tue mir mit dieser Aufgabe
> sehr schwer. x wird wohl aus [mm]\IR^{nx1}[/mm] sein.
Hallo,
ja.
> Aber muss ich
> das nun für alle x oder nur für eins zeigen
Du mußt Dir den Pool aller Werte
[mm] \bruch{\parallel Ax \parallel_{2}}{\parallel x \parallel_{2}} [/mm] die Du erhältst, wenn Du für x sämtliche Vektoren [mm] \not=0 [/mm] einsetzt, anschauen, und dann den größten nehmen. (Das sagt Dir das "sup")
> und vor allem
> wie kann ich sowas zeigen? Ich habe leider überhaupt keine
> idee und hoffe, dass jemand für mich einen Hinweis hat.
Zunächst mal kannst Du Dir überlegen, daß es reicht, alle Vektoren der Länge 1 zu betrachten, damit wird die Lage etwas übersichtlicher.
Du zeigst also, daß [mm] \wurzel{\lambda_{max}(AA^{T})}=\sup_{\parallel x\parallel_2=1}\parallel Ax\parallel_2 [/mm] ist.
Sicher spielt es hierbei eine Rolle, daß [mm] AA^{T} [/mm] symmetrisch ist.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Do 08.11.2012 | | Autor: | Blubie |
Hallo Angela,
woher weißt du denn dass A symmetrisch ist? Das habe ich leider nirgends gegeben.
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela,
>
> woher weißt du denn dass A symmetrisch ist?
Hallo,
von nirgendwo...
> Das habe ich
> leider nirgends gegeben.
Ich habe nicht gesagt, daß A symmetrisch ist, sondern [mm] AA^{T} [/mm] ist symmetrisch. Immer. Das weiß "man".
LG Angela
|
|
|
|
