Matrixnorm Abschätzung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Do 17.11.2011 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | Ich habe eine bel. [mm] 2\times{2} [/mm] Matrix [mm] A:=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] und ich soll die folgende Ungleichung zeigen:
[mm] \parallel{A}\parallel^2\le a^2+b^2+c^2+d^2 [/mm] |
Mein Problem daran ist, dass in der Aufgabe leider nicht angeführt worden um welche Norm es sich denn genau handeln sollte. Habt ihr eventuell irgendeine Idee dazu?
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Moin,
> Ich habe eine bel. [mm]2\times{2}[/mm] Matrix [mm]A:=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> und ich soll die folgende Ungleichung zeigen:
>
> [mm]\parallel{A}\parallel^2\le a^2+b^2+c^2+d^2[/mm]
> Mein Problem
> daran ist, dass in der Aufgabe leider nicht angeführt
> worden um welche Norm es sich denn genau handeln sollte.
Die Matrixnorm [mm] \parallel A\parallel [/mm] ist definiert als
[mm] \parallel A\parallel=\sup\{\parallel Ax\parallel_2: x\in\IR^2, \parallel x\parallel_2=1\}.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 17.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Ich habe sie jetzt doch im Skriptum auffinden können, dort wird sie folgendermaßen definiert:
[mm] \parallel A\parallel=max\{\parallel Ax\parallel:\parallel x\parallel\le1\}
[/mm]
Also das ist die sogenannte Operatornorm. Gehören die Spaltensummen-und Spektralnorm eigentlich dazu, beziehungsweise was wäre denn die Operatornorm der Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] und in weiterer Folge natürlich [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Do 17.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Hat jemand einen Vorschlag?
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> Ich habe sie jetzt doch im Skriptum auffinden können, dort
> wird sie folgendermaßen definiert:
>
> [mm]\parallel A\parallel=max\{\parallel Ax\parallel:\parallel x\parallel\le1\}[/mm]
Du kannst dich leicht überzeugen, dass diese Norm mit der von mir angegeben übereinstimmt.
Zur Aufgabe. Es gilt
[mm] \pmat{a&b\\c&d}\vektor{x\\y}=\vektor{ax+bx\\cx+dy}.
[/mm]
Damit gilt (euklidische Vektornorm):
[mm] \parallel A\parallel^2=\sup\{(ax+by)^2+(cx+dy)^2: x,y\in\IR, x^2+y^2=1\}.
[/mm]
Zeige
[mm] (ax+by)^2\leq a^2+b^2
[/mm]
unter der Bedingung [mm] x^2+y^2=1 [/mm] (es folgt durch "elementare" Umformungen).
Dann ist analog [mm] (cx+dy)^2\leq c^2+d^2 [/mm] und die Behauptung folgt.
>
> Also das ist die sogenannte Operatornorm. Gehören die
> Spaltensummen-und Spektralnorm eigentlich dazu,
Ja, das sind alles Matrixnormen. Bei der Spaltennorm wird die 1-Norm anstatt der euklischen Metrik verwendet.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Sa 19.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Mir ist zu diesem Beispiel noch eine Frage eingefallen, und zwar müsste doch eine ähnliche Ungleichung auch im allgemeinen Fall für [mm] n\times{n} [/mm] Matrizen gelten.
[mm] \parallel A\parallel^2=max\{(a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n)^2+...+(a_{n1}x_1+...+a_{nn}x_n)^2:x_1,...,x_n \in\mathbb{R}, x_1^2+...+x_n^2=1\}
[/mm]
Beim vorigen Fall war die Ungleichung [mm] (ax+by)^2\le{a}^2+b^2 [/mm] leicht zu beweisen, wie schaut es aber hier aus?
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Hallo kalifat,
da ich bald los muss, hier eine Beweisskizze. Es ist gut, dass du dir Gedanken über mögliche Verallgemeinerungen machst.
Du willst für [mm] x_1,\ldots,x_n\in\IR [/mm] und [mm] a_1,\ldots,a_n\in\IR [/mm] unter der NB [mm] \sum_i x_i^2=1 [/mm] zeigen
[mm] \left(\sum_i x_ia_i\right)^2\leq \sum_i a_i^2.
[/mm]
Das folgt im Wesentlichen aus binomischen Formeln. Für [mm] 1\leq i
[mm] (x_ia_j-x_ja_i)^2=x_i^2a_j^2+x_j^2a_i^2-2x_ix_ja_ia_j\geq0.
[/mm]
Insbesondere folgt
[mm] \sum_{i
Die Summe [mm] \sum_{i\neq j}x_j^2a_i^2 [/mm] kann man auch als [mm] \sum_i \left(a_i^2\sum_{j\neq i}x_j^2\right)=\sum_i a_i^2(1-x_i^2) [/mm] schreiben. Damit folgt dann
[mm] \sum_i a_i^2(1-x_i^2)-2\sum_{i
Die ist aber äquivalent zu
[mm] \sum_i a_i^2\geq \sum_i x_i^2a_i^2+2\sum_{i
Damit folgt sofort die Behauptung.
LG
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