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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Di 14.12.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
komme mal wieder mit einer Aufgabe nicht weiter.
Sei g [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] die Gerade durch die Punkte (0,0) (1,4). Finden Sie eine Basis [mm] \{b_1 , b_2\} [/mm] des [mm] \IR^2 [/mm] , bezüglich der Spiegelung [mm] S_g [/mm] an der Geraden g durch die Matrix durch die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] beschrieben wird. Stellen sie den Punkt (2,2) durch diese Basis dar, und berechnen sie die Matrix, die [mm] S_g [/mm] bezüglich der kanonischen Basis beschreibt.
Meine Idee ist jetzt, dass ich 2 Basisvektoren finden muss die orthogonal zueinander sind, und deren Winkelhalbierende eben die gerade g ist.
Ich glaube mein Hauptproblem ist das Textverständnis dieser Aufgabe. Die Sachen, die ich machen soll sind ja eigentlich einfach.
Kann mir jemand die Aufgabe ein wenig erläutern?
MFG Shaguar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Di 14.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Shaguar!
Der Richtungsvektor der Geraden $g$ muss ja auf sich selbst abgebildet werden, wenn $g$ die Spiegelachse sein soll. Daher können wir [mm] $b_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ [/mm] wählen. Ein Vektor, der senkrecht auf dieser Geraden steht, wird auf das $(-1)$-Fache von sich selbst abgebildet.
Daher können wir [mm] $b_2= \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] wählen.
Kriegst du den Rest jetzt selber hin oder brauchst du weitere Hilfe? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
ja ich hab jetzt mal weitergerechnet und bin auf folgendes gekommen.
Ich habe jetzt die Basis so gewählt:
[m]b_1= \vektor{4 \\ -1} b_2=\vektor{1 \\ 4}[/m]
Der Punkt (2,2) durch diese Basis dargestellt:
[m] \lambda_1 \vektor{4 \\ -1}+ \lambda_2 \vektor{1 \\ 4}[/m] mit [mm] \lambda_1=\bruch{10}{17} [/mm] und [mm] \lambda_2=\bruch{6}{17}
[/mm]
Jetzt noch die Matrixtransformation:
Hier muss ich doch die Vektoren [mm] \vektor{4 \\ -1} \vektor{1 \\ 4} [/mm] durch die kanonische Basis ausdrücken und in die [mm] \lamda_i [/mm] in die Matrix schreiben. So interpretiere ich jedenfalls das Beispiel aus dem Beutelspacher. Also kommt folgende Matrix raus
[mm] \pmat{ 4 & -1 \\ 1 & 4 }
[/mm]
Stimmt das so ungefähr?
Was ich bei der ganzen Aufgabe nicht verstehe ist, da steht doch ich soll eine Basis finden zu der Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] so dass diese Matrix die Spiegelung an [mm] \lamda \vektor{1 \\ 4} [/mm] beschreibt. Wenn ich aber die Basis [m]b_1= \vektor{4 \\ -1} b_2=\vektor{1 \\ 4}[/m] nehme drückt die Matrix doch ne Spiegelung an der Abzisse aus oder? Oder lese ich die Aufgabe immernoch falsch?
Danke für die Antworten
Gruß Shaguar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Do 16.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Shaguar!
> Ich habe jetzt die Basis so gewählt:
>
> [m]b_1= \vektor{4 \\ -1} b_2=\vektor{1 \\ 4}[/m]
Nein, anders herum.
> Der Punkt (2,2) durch diese Basis dargestellt:
>
> [m]\lambda_1 \vektor{4 \\ -1}+ \lambda_2 \vektor{1 \\ 4}[/m] mit
> [mm]\lambda_1=\bruch{10}{17}[/mm] und [mm]\lambda_2=\bruch{6}{17}
[/mm]
Nein, du musst [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] vertauschen. Bzw. wenn man doppelt vertauscht, dann stimmt es natürlich wieder.  Hmmh... Mache es bitte komplett nochmal mit
[mm]b_1= \vektor{1 \\ 4}[/mm] und [mm]b_2=\vektor{4 \\ -1}[/mm].
Ich rechne damit jetzt jedenfalls weiter...
> Jetzt noch die Matrixtransformation:
>
> Hier muss ich doch die Vektoren [mm]\vektor{4 \\ -1} \vektor{1 \\ 4}[/mm]
> durch die kanonische Basis ausdrücken und in die [mm]\lamda_i[/mm]
> in die Matrix schreiben. So interpretiere ich jedenfalls
> das Beispiel aus dem Beutelspacher. Also kommt folgende
> Matrix raus
>
> [mm]\pmat{ 4 & -1 \\ 1 & 4 }
[/mm]
>
> Stimmt das so ungefähr?
Hmh, mit gutem Willen schon.
Es gilt ja:
[mm] $S_g \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \red{1} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \blue{0} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm]
und
[mm] $S_g \left( \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \green{0} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + (-1) [mm] \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm]
Daher gilt, wenn [mm] ${\cal B}=\{b_1,b_2\}$ [/mm] ist, für die Matrixdarstellung der linearen Abbildung [mm] $S_g$
[/mm]
[mm] $M_{{\cal B}}^{{\cal B}}(S_g) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \red{1} & \green{0} \\ \blue{0} & -1 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Nun wollen wir die Matrixdarstellung bezüglich der kanonischen Basis des [mm] $\IR^2$, [/mm] also bezüglich [mm] ${\cal E}_2 [/mm] = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$, [/mm] bestimmen, also:
[mm] $M_{{\cal E}_2}^{{\cal E}_2}(S_g)$.
[/mm]
Nach der Transformationsformel gilt:
[mm] $M_{{\cal E}_2}^{{\cal E}_2}(S_g) [/mm] = [mm] T_{{\cal B}}^{{\cal E}_2} \cdot M_{{\cal B}}^{{\cal B}}(S_g) \cdot T_{{\cal E}_2}^{{\cal B}}$
[/mm]
mit
[mm] $T_{{\cal B}}^{{\cal E}_2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
und
[mm] $T_{{\cal E}_2}^{{\cal B}} [/mm] = [mm] \left( T_{{\cal B}}^{{\cal E}_2}\right)^{-1}$.
[/mm]
Versuche es jetzt bitte noch einmal.
Liebe Grüße
Stefan
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