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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Sa 20.11.2004 | | Autor: | destiny |
Sei K ein Körper. Für welche Matrizen [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d }\in K^{2.5} [/mm] existiert eine Matrix [mm] B=\pmat{ x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} } \in K^{2.5} [/mm] derart, dass [mm] AB=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] gilt?
Bestimmen Sie im Falle der Existenz von B die Enträge [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{4} [/mm] von B in Abhängigkeit von a, b, c, d.
Ich wäre euch dankbar auf baldige Antwort. Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Sa 20.11.2004 | | Autor: | destiny |
Es tut mir leid, aber ich hab beim Eintippen der Frage einen Fehler gemacht! Es soll nämlich die [mm] K^{2.2} [/mm] Matrix betrachtet werden, NICHT die [mm] K^{2.5} [/mm] Matrix. Sorry! Hoffentlich hat euch das nicht verwirrt.
Destiny
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Schwierig zu beantworten, da ich nicht genau weiß, welche Voraussetzungen ihr habt...
Also: kennt ihr schon den Begriff der "inversen Matrix"? Eine quadratische Matrix [mm]B[/mm] heißt dann in vers zu einer Matrix (gleicher Größe) [mm]A[/mm], wenn gilt: [mm]A*B=B*A=E[/mm] (wobei [mm]E[/mm] die Einheitsmatrix bezeichnet).
Also ist hier gefragt, welche Bedingung die [mm]a,b,c,d[/mm] erfüllen müssen, damit diese Matrix [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] invertierbar ist...
Dafür benötigter Ansatz: schreibe [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } | \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Sieht nicht schön aus, meine Darstellung... eigentlich isses so gemeint: Matrix A ohne die rechte Klammer hinschreiben, dann ein großer senkrechter Strich, und auf die rechte Seite des Strichs die Einheitsmatrix, dann erst große Klammer zu - also so, wie wenn man ein "normales" LGS löst.
Dann formt man das so lange um, bis auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht, und kann auf der rechten Seite direkt die Inverse ablesen.
Und dann in dieser Inversen einige Brüche vorkommen werden, müssen die [mm]a,b,c,d[/mm] so gewählt werden, dass die Nenner dieser Brüche alle [mm]\not=0[/mm] werden.
Falls dieses Inversen-Thema noch nicht durchgenommen wurde, dann gibt es noch einen anderen (wirklich ekelhaft durchzurechnenden) Weg: multiplizier diese beiden Matrizen A und B einfach aus:
[mm]A*B=\pmat{ a*x_1+b*x_3 & a*x_2+b*x_4 \\ c*x_1+d*x_3 & c*x_2+d*x_4 }[/mm] , und das muss gleich der Einheitsmatrix sein, also komponentenweise aufschreiben:
[mm]a*x_1+b*x_3=1[/mm]
[mm]c*x_1+d*x_3=0[/mm]
[mm]a*x_2+b*x_4=0[/mm]
[mm]c*x_2+d*x_4=1[/mm]
Und dann umformen, um einen Zusammenhang zu finden... aber Spaß macht das nicht 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 So 21.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo, e.kandrai!
Danke für deine Antwort drauf! Ich hab die Aufgabe so gelöst, wie es komplizierter garnicht mehr geht.
Ich weiß, dass es blöd klingt, aber ich hab das Gaußsche Lösungsverfahren in der Schule nie gelernt, weiß auch nicht warum. Darum hab ich jetzt so Probleme damit.
Kannst du mir vielleicht bitte diese Aufgabe so lösen wie dein erster Lösungsvorschlag? Ich meine so durch Umformen der linken Seite, bis links die Einheitsmatrix steht.
Ich wäre dir echt dankbar. Dann hab ich zumindest an einem konkreten Beispiel mal gesehen, wie es geht.
Aber nur, wenn es dir nicht so viele Umstände macht!
Danke schön!
Destiny
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Hallo!
> Danke für deine Antwort drauf! Ich hab die Aufgabe so
> gelöst, wie es komplizierter garnicht mehr geht.
Na, wenn du die Aufgabe doch jetzt gelöst hast, was willst du dann noch mehr?
> Ich weiß, dass es blöd klingt, aber ich hab das Gaußsche
> Lösungsverfahren in der Schule nie gelernt, weiß auch nicht
> warum. Darum hab ich jetzt so Probleme damit.
Hey, willkommen im Club - ich hab's auch nicht wirklich gelernt. Aber eigentlich ist es ganz simpel, und wenn du dir überlegst, wie du Gleichungssysteme löst, dann würdest du es wahrscheinlich genau so machen. Aber egal - das gehört jetzt nicht ganz hierher...
> Kannst du mir vielleicht bitte diese Aufgabe so lösen wie
> dein erster Lösungsvorschlag? Ich meine so durch Umformen
> der linken Seite, bis links die Einheitsmatrix steht.
Sorry, ich glaube, das geht nicht so gut, wenn du keine Einträge der Matrix gegeben hast. Vielleicht zeige ich es dir an einem gaaanz einfachen Beispiel, aber wenn du ein anderes, etwas komplizierteres hast, kannst du's ja posten, dann kann ich's damit auch probieren.
Also, du gehst hiervon aus:
(Sorry, ich weiß gerade nicht, wie ich das richtig hinschreibe, eigentlich schreibt man das in einer Matrix, mit einem senkrechten Strich da, wo hier die erste Klammer zu und die zweite aufgemacht wird...)
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Jetzt willst du z. B. statt der 3 an genau dieser Stelle eine 0 stehen haben, du rechnest also die zweite Zeile minus dreimal die erste und erhältst:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & -2 } \pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 1 } [/mm] (dasselbe machst du natürlich mit der Einheitsmatrix rechts, deswegen steht sie ja da!)
Jetzt willst du statt der -2 eine 1 stehen haben, also teilst du die zweite Zeile durch (-1) - ebenso natürlich wieder mit der ehemaligen Einheitsmatrix rechts:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1 & 0 \\ 1,5 & -0,5 } [/mm]
Und jetzt musst du noch die 2 oben rechts zu einer 0 machen (du willst ja links auf die Einheitsmatrix kommen), also rechnest du die erste Zeile minus zweimal die zweite und erhältst:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \pmat{ -2 & 1 \\ 1,5 & -0,5 }
[/mm]
Nun hast du also links die Einheitsmatrix und rechts die gesuchte inverse Matrix und schon bist du fertig!
(Ich hab's nachgerechnet, müsste so stimmen.)
Hast du's verstanden? Ansonsten frag nochmal nach.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 So 21.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo, Bastiane!
Danke für deine Erklärungen! Ich glaub, ich hab das Prinzip verstanden. Muss ich aber wahrscheinlich noch öfters üben, sonst bringt mir dieses Lösungsverfahren nichts, wenn ich immer so lange dafür brauche. *hihi*
Ich versuch mal dieses Verfahren auf meine Aufgabe anzuwenden. Hoffentlich klappt es.
Kannst du mir vielleicht vorher noch verraten, ob es überhaupt klappen wird, damit ich mich nicht unnötig dumm und dämlich rechne.
Danke!
Destiny
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Hier noch die Version, wie man's mit deiner "Buchstaben-Matrix" durchrechnen würde.
Da ich nicht genau weiß, wie man es richtig schreibt in diesem Formelsystem, bekommst es halt als gescanntes Bild.
Und zu den Pfeilen am rechten Rand der Matrizen: es wird immer diejenige Zeile ersetzt, auf die der Pfeil zeigt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du siehst, dass bei genau diesem Bruch [mm]\bruch{1}{bc-ad}[/mm] der Nenner nicht =0 sein darf; dieser Ausdruck [mm]bc-ad[/mm] entspricht (bis auf die Vorzeichen) genau der sog. Determinante der ursprünglichen Matrix A (falls du diesen Begriff schon mal gehört hast).
Übrigens kann man aus der Matrix B auch ein Minuszeichen "ausklammern", und es beim Bruch in den Nenner packen. Das sieht dann so aus:
[mm]B=\bruch{1}{ad-bc}*\pmat{ d & -b \\ -c & a }[/mm]
Vielleicht hast du erkannt: dieser Vorfaktor (der Bruch) ergibt sich, indem man den Kehrwert von (Produkt der Hauptdiagonalelemente) minus (Produkt der Nebendiagonalelemente) rechnet. Und die Einträge der Matrix B ergeben sich, indem man die beiden Hauptdiagonalelemente gerade vertauscht (also das a und das d), und von den Nebendiagonalelementen (also von b und c) grad das Vorzeichen umdreht.
Diese Rechenregel funktioniert aber nur bei 2x2-Matrizen!
Und jetzt können wir diese Rechenregel ja mal an der Matrix von Bastiane ausprobieren:
[mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]
Als [mm]ad-bc[/mm] ergibt sich hier [mm]1*4-3*2=-2[/mm] (beachte: das ist [mm]\not=0[/mm], also existiert eine Matrix B mit AB=BA=E), und somit müsste die gesuchte Matrix B heißen:
[mm]\bruch{1}{-2}*\pmat{ 4 & -2 \\ -3 & 1 }[/mm]
Und wenn man den Bruch in die Matrix reinmultipliziert, dann ergibt sich
[mm]\pmat{ -2 & 1 \\ 1,5 & -0,5 }[/mm]
Wieder dasselbe, wie Bastiane vorgerechnet hat.
Und als Probe kannst du das Matrizenprodukt AB bilden und schauen, ob wirklich die Einheitsmatrix rauskommt.
Und jetzt kannst es selber an ein paar Matrizen ausprobieren, z.B. an [mm]A=\pmat{ 4 & 5 \\ 2 & 5 }[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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