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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 So 11.11.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Für beliebige Werte von [mm] \lambda [/mm] besitzt das Gleichungssystem [mm] A*X=\lambda*X [/mm] mit der Matrix A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \\ 3 & -2 & 1} [/mm] die triviale Lösung X=0.
Für welche Werte von [mm] \lambda [/mm] besitzt das Gleichungssystem nichttriviale Lösungen?
Man gebe die allgemeine Lösung des Gleichungssystems für den größten Wert von [mm] \lambda [/mm] an. |
Wenn ich auf der linken Seite der Gleichung einfach nach X auflösen würde, dann würde es heißen: [mm] X=A^{-1}*\lambda*X
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] X= [mm] \pmat{ -8 & 8 & 8 \\ 8 & -8 & -8 \\ 8 & -8 & -8}*\lambda*X
[/mm]
Sobald man X=0 setzt, bekommt man 0=0, sodass die Gleichung immer erfüllt ist. Würde man [mm] \lambda=A [/mm] setzen, so gäbe es unendlich viele Lösungen, aber dies ist ja nicht gesucht. Außerdem meint man mit dem Begriff "Werte" wahrscheinlich keine Matrizen, sondern Zahlen. Bin mir nicht so sicher wie ich da vorgehen müsste.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 So 11.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Das was hier gesucht ist sind die Eigenwerte [mm] \lambda.
[/mm]
Wenn ihr das noch nicht in der Vorlesung behandelt habt hier die Lösung:
[mm] Ax=\lambda\cdot [/mm] x
[mm] Ax=\lambda [/mm] E x
[mm] Ax-\lambda [/mm] Ex=0
[mm] (A-\lambda [/mm] E)x=0
Mit dieser Gleichung lässt sich nun arbeiten.
Die Matrix, die in Klammern steht darf keinen vollen Rang besitzen, so dass diese Gleichung für [mm] x\ne0 [/mm] lösbar ist (nichttrivial).
Das machen wir über die Determinante. Wenn diese ungleich 0 ist, sind die Spalten linear abhängig und eine nichttriviale Linearkombination der 0 ist möglich. Also berechnest du jetzt
[mm] det\pmat{1-\lambda & 2 & 3 \\ 2 & -4-\lambda & -2 \\ 3 & -2 & 1-\lambda}=0
[/mm]
Determinanten habt ihr sicherlich schon gemacht.
Löse diese nach der Sarrusregel auf und dann erhälst du ein Polynom 3. Grades, das sogenannte charakteristische Polynom. Die Nullstellen dieses sind deine Eigenwerte [mm] \lambda.
[/mm]
Alles klar soweit?
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 So 11.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Und nochwas.
Du hast diese Frage ins Schulforum geschrieben.
Das gehört hier nicht hin.
Nächstes mal bitte Uni-Forum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 So 11.11.2007 | | Autor: | Owen |
Hallo,
Der Begriff Eigenwert war neu für mich, aber ich habe nun die Vorgehensweise verstanden. Danke
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