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| Aufgabe | Seien A, B [mm] \in [/mm] Km×n Matrizen über dem Körper K. Zeigen Sie:
Rk(A+B) [mm] \le [/mm] Rk(A) + Rk(B) |
Hallo, hat vielleicht jemand ne ahnung, wie man das löst?
Habe die Aufgabe ausverseh erst ins Forum für Analysis gestellt, wo es ja überhaupt nicht hingehört, tut mir leid.
Bedanke mich jetzt schon mal für antworten.
gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Seien A, B [mm]\in[/mm] Km×n Matrizen über dem Körper K. Zeigen
> Sie:
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> Rk(A+B) [mm]\le[/mm] Rk(A) + Rk(B)
> Hallo, hat vielleicht jemand ne ahnung, wie man das löst?
Hallo,
der Lösung käme man mit Sicherheit etwas schneller näher, würdest Du die verwendeten Zeichen erklären.
Was ist Rk??? Der Rang der Matrix? Wahrscheinlich.
Wenn mich meine Erinnerung nicht trügt, hatte ich Dich bereits auf die Forenregeln hingewiesen, insbesondere darauf, daß wir eigene Lösungsansätze sehen möchten.
So weiß man doch gar nicht, wo Dein Problem liegt.
Was hast Du bisher getan, an welcher Stelle bist Du nicht weitergekommen?
Weißt Du, was der Rang ist?
Kennst Du die Definition vom Bild?
(Weil's so bildend ist - und Du es dieser Tage bestimmt benötigen wirst - kannst Du auch gleich nachschauen, was der Kern ist. Für diese Aufgabe brauch man's aber nicht.)
Falls Du diese Vorarbeiten schon erledigt hast, ein Tip zur Aufgabe:
Nimm die Basis v. [mm] BildA\cap [/mm] BildB, ergänze sie jeweils zu einer Basis v. BildA bzw. BildB und such dann nach einem Erzeugendensystem v. Bild(A+B).
Gruß v. Angela
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Folgender Sachverhalt:
Durch Umformen bekommt man folgde Formel:
Rang(A+B) = dim V - dim (Ker(f+g))
Nun gilt ja auch: (Ker f $ [mm] \cap [/mm] $ Ker g) $ [mm] \subseteq [/mm] $ Ker (f+g)
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ dim (Ker f $ [mm] \cap [/mm] $ Ker g) $ [mm] \le [/mm] $ dim (Ker(f+g)) , dieser schritt ist mir noch klar, nur kommt jetzt meine wissensluecke
wieso gilt das hier:
Rang(A+B) $ [mm] \le [/mm] $ dim V - dim (Ker f $ [mm] \cap [/mm] $ Ker g)
waere nett, wenn mir jemand das erklaeren koennte.
gruss
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> Folgender Sachverhalt:
> Durch Umformen bekommt man folgde Formel:
>
> Rang(A+B) = dim V - dim (Ker(f+g))
Hallo,
die Gleichung stimmt, aber was meinst Du mit "durch Umformen"? Wen oder was formst Du um?
Und was willst Du zeigen? Sollte "Rk" in Deinem Eingangspost "Rang" bedeuten?
> Nun gilt ja auch: (Ker f [mm]\cap[/mm] Ker g) [mm]\subseteq[/mm] Ker (f+g)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim (Ker f [mm]\cap[/mm] Ker g) [mm]\le[/mm] dim (Ker(f+g)) ,
> dieser schritt ist mir noch klar, nur kommt jetzt meine
> wissensluecke
>
> wieso gilt das hier:
>
> Rang(A+B) [mm]\le[/mm] dim V - dim (Ker f [mm]\cap[/mm] Ker g)
Na, oben sagst Du doch
> Rang(A+B) = dim V - dim (Ker(f+g)),
und dann stellst Du fest
> dim (Ker f [mm]\cap[/mm] Ker g) [mm]\le[/mm] dim (Ker(f+g)),
daraus ergibt sich das doch sofort.
Gruß v. Angela
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Hi angela. durch umformen meinte ich:
Rang(A+B) = dim V - dim (Ker(f+g))
diese Formel gibts ja nicht so, oder habt ihr die schon so bekommen?
weil wir hatten nur, dass Rang (A) = dim Im (A). Ja und dann habe ich den Kern-Bild angewandet, und konnte es soumformen.
ja und mein problem war, ich weiß nicht, ob ich gerde ein brett vorm kopf habe, oder ich denke falsch. wieso wird aus der oberen formel, also:
Rang(A+B) = dim V - dim (Ker(f+g)), wenn ich das mit diesem hier verbinde:
dim (Ker f [mm] \cap [/mm] Ker g) [mm] \le [/mm] dim (Ker(f+g)) das hier:
Rang(A+B) [mm] \le [/mm] dim V - dim (Ker f [mm] \cap [/mm] Ker g)??
Mir gehts dabei um das Relationszeichen: [mm] \le [/mm] , denn ich würde sagen, der Rang (A+B) ist größer und nicht kleiner. deshalb versteh ich den schritt an der stelle nicht.
gruß
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> ja und mein problem war, ich weiß nicht, ob ich gerde ein
> brett vorm kopf habe, oder ich denke falsch. wieso wird aus
> der oberen formel, also:
>
> Rang(A+B) = dim V - dim (Ker(f+g)), wenn ich das mit diesem
> hier verbinde:
>
> dim (Ker f [mm]\cap[/mm] Ker g) [mm]\le[/mm] dim (Ker(f+g)) das hier:
>
> Rang(A+B) [mm]\le[/mm] dim V - dim (Ker f [mm]\cap[/mm] Ker g)??
>
> Mir gehts dabei um das Relationszeichen: [mm]\le[/mm] , denn ich
> würde sagen, der Rang (A+B) ist größer und nicht kleiner.
> deshalb versteh ich den schritt an der stelle nicht.
Du hast
> Rang(A+B) = dim V - dim (Ker(f+g))
und
> dim (Ker f [mm]\cap[/mm] Ker g) [mm]\le[/mm] dim (Ker(f+g))
Du subtrahierst oben das Größere v. beiden, oder anders (ich weiß nämlich manchmal auch nicht mehr ob größer kleiner, Männchen, Weibchen, rechts, links):
> dim (Ker f [mm]\cap[/mm] Ker g) [mm]\le[/mm] dim (Ker(f+g))
<==>
-dim (Ker f [mm]\cap[/mm] Ker g) [mm]\ge[/mm] -dim (Ker(f+g)),
und damit hast Du's dann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Sa 01.12.2007 | | Autor: | jaruleking |
Ach jetzt sehe ich es auch. ich sags ja, ich hatte ein brett vorm kopf 
manchmal können so kleinigkeiten einem das leben so schwer machen. aber zum glück gibt es ja noch sehr nette und hilfbereite menschen.
vielen dank nochmal, denn ich glaub selber hätte ich es nicht mehr gecheckt.
gruß
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