Matrizen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Di 21.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Es seien n eine positive ganze Zahl und P bzw. Q ganzzahlige n x n-Matrizen mit Pij := 2i - j bzw. Qij:= i + 2j, 1 [mm] \le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n.
Berechnen Sie für all ganzen Zahlen k,l mit 1 [mm] \le [/mm] k,l [mm] \le [/mm] n den Eintrag in der k-ten Zeile und l-ten Spalte von PQ und von QP. |
ich habe mir überlegt
[mm] (PQ)_{kl} [/mm] = [mm] \summe_{m=1}^{n} P_{km} Q_{ml}
[/mm]
ja soweit bin ich, aber wie bauche ich das
Pij := 2i - j bzw. Qij:= i + 2j ein
irgendwie weiss ich da nicht weiter wie ich bei den Pij und Qij
weil die i,j hängen ja dann davon ab
danke lg
|
|
| |
|
Hallo!
Das sieht doch nun schon gut aus.
Du solltest nun [mm] $Q_{ml}:= [/mm] m + 2l$ und gleiches für P in deine Summenformel einsetzen, das ganze verrechnen, und schaun, wie du weiter kommst.
Bedenke: In der Definition werden i und j nur zur Festlegung der Zeilen und spalten zu tun. Das i in der Definition von P hat nichts mit dem i vom Q zu tun.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Di 21.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ich denke schon, dass die was damit zu tun haben, sonst würde man nicht die gleichen variablen nehmen
|
|
|
| |
|
> ich denke schon, dass die was damit zu tun haben, sonst
> würde man nicht die gleichen variablen nehmen
Hallo,
wie schon gesagt:
[mm] "P_i_j:= [/mm] 2i - j" bedeutet: das Element der Matrix P, welches dort in der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht, ist 2i - j .
"1 $ [mm] \le [/mm] $ i,j $ [mm] \le [/mm] $ n" sagt: das gilt für alle Indizes, die zwischen 1 und n liegen.
Entsprechend ist für [mm] P_k_m [/mm] das Element einzutragen, welches in der k-ten Zeile und m-ten Spalte steht, welches das ist, sagt Dir die Vorschrift von oben.
Für [mm] Q_m_k [/mm] entsprechend.
Gruß v. Angela
P.S.: ich weiß nicht, ob Du es schon getan hast, fürs Verständnis ist sowas oft nützlich. Nimm mal n=4 und schreib Dir die Matrizen Pund Q auf.
Wenn Du sie dann multiplizierst, kannst Du ja schön das Ergebnis der allgemeinen Aufgabe, welches Du errechnet hast, damit vergleichen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 21.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ähm ja jetzt habe ich
[mm] \summe_{m=1}^{n} [/mm] (2km - m² + 4kl -2ml)
stimmt das??
ist das jetzt die lösung oder muss man da noch weiter rechnen??
|
|
|
| |
|
Hallo!
Du kannst hier noch ganz schön vereinfachen.
[mm]\summe_{m=1}^{n} (2km - m² + 4kl -2ml)[/mm]
[mm]\summe_{m=1}^{n} 2(k-l)m - \summe_{m=1}^{n}m² + \summe_{m=1}^{n}4kl [/mm]
Bedenke nun, daß immer nur über m summiert wird. Alles andere kannst du vor die Summenzeichen ziehen. Du solltest nun noch Ausdrücke für [mm] $\summe_{m=1}^{n} [/mm] m$ , [mm] $\summe_{m=1}^{n} m^2$ [/mm] und [mm] $\summe_{m=1}^{n} [/mm] 1$ hinschreiben können, die kennst du sicher.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 21.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ich habe jetzt
> $ [mm] \summe_{m=1}^{n} [/mm] (2km - m² + 4kl -2ml) $ =$ [mm] \summe_{m=1}^{n} [/mm] 2(k-l)m - [mm] \summe_{m=1}^{n}m² [/mm] + [mm] \summe_{m=1}^{n}4kl [/mm] $
=(k - l) n (n +1) - [mm] (\bruch{1}{6}n [/mm] (n +1) (2n + 1) + 4kl
sieht auch nicht wirklich vereinfacht aus, aber ich weiss nicht mehr weiter!
|
|
|
| |
|
> ich habe jetzt
>
> > [mm]\summe_{m=1}^{n} (2km - m² + 4kl -2ml)[/mm] =[mm] \summe_{m=1}^{n} 2(k-l)m - \summe_{m=1}^{n}m² + \summe_{m=1}^{n}4kl[/mm]
>
> =(k - l) n (n +1) - [mm](\bruch{1}{6}n[/mm] (n +1) (2n + 1) + [mm] 4\red{n}kl
[/mm]
Hallo,
es ist [mm] \summe_{m=1}^{n}1=\underbrace{1+...+1}_{n-mal}=n [/mm] , daher [mm] \summe_{m=1}^{n}4kl= 4kl\summe_{m=1}^{n}1=4kln
[/mm]
>
> sieht auch nicht wirklich vereinfacht aus, aber ich weiss
> nicht mehr weiter!
Auf jeden Fall könnte man noch n ausklammern und schauen, was dann noch übrigbleibt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Di 21.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
war ein schlampigkeitsfehler, sollte ich wohl besser vermeiden
dank lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 21.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
n (kl- ln + k - l -n²/3 + n/2 + 1 + 4kl)
das n hab ich herausgehoben
immer noch nicht "schön" gg
lg
|
|
|
| |
|
Hallo!
Du könntest nun z.B. noch nach Termen mit k ordnen, und das k ausklammern, oder selbiges mit l etc.
Aber letztendlich bist du fertig, denn du kannst jetzt schnell irgendwelche Werte einsetzen, um dieses Matrixelement zu berechnen. Hauptsache ist hier, daß die Summenterme weg sind.
|
|
|
|
