Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Sa 28.02.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass (-2, X+1, X²-X-2) eine Basis von P2 ist und bestimmen Sie die Koordinaten des Polynoms f= 3X²-2X-2 bezüglich dieser Basis. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Kann mir jemand sagen wie überhaupt hier gehts? Wie muss ich Matrix aus diese Polinom schreiben? Horizontal oder vertikal und von welche Grad muss ich anfangen?
so 0 0 1
0 1 -1
-2 1 -2
oder so
-2 1 -2
0 1 -1
0 0 1
Verstehe ich nicht :-(
|
|
| |
|
Hallo sinista1 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen Sie, dass (-2, X+1, X²-X-2) eine Basis von P2 ist
> und bestimmen Sie die Koordinaten des Polynoms f= 3X²-2X-2
> bezüglich dieser Basis.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo! Kann mir jemand sagen wie überhaupt hier gehts? Wie
> muss ich Matrix aus diese Polinom schreiben? Horizontal
> oder vertikal und von welche Grad muss ich anfangen?
>
> so
[mm] $\pmat{0&0&1\\0&1&-1\\-2&1&-2} [/mm] \ \ [mm] \leftarrow$ klick!
> oder so
$\pmat{-2&1&-2\\0&1&-1\\0&0&1}$
>
> Verstehe ich nicht :-(
Das ist m.E. egal, du kommst ja durch Zeilentausch (also einer erlaubten elementaren Zeilenumformung) von einer Darstellung zur anderen)
Du solltest dich nur konsequent auf eine Schreibweise festlegen.
Ob du nun für deine Basisvektoren schreibst $-2=-2\cdot{}1+0\cdot{}X+0\cdot{}X^2$ oder $-2=0\cdot{}X^2+0\cdot{}X+(-2)\cdot{}1$, kannst du dir aussuchen - entsprechend für die anderen Basisvektoren
Bringe eine der Matrizen in Zeilenstufenform, wenn sie vollen Rang hat, bist du schon fertig mit dem ersten Teil - ist dir klar, wieso?
Du müsstest ja eigentlich für die Eigenschaft, Basis zu sein zeigen, dass $\{-2,X+1, X^2-X-2\}$ linear unabhängig [u]und[/u] Erzeugendensystem ist.
Was weißt du aber über die Dimension von $P_2$?
LG
schachuzipus
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Sa 28.02.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Hallo noch mal! Vielen Dank erstmal. Aber Fragen trotzdem bleiben. Guck mal, mit diese Zeilentausch bekomme ich schon eine Basis. meinst du ich muss so was machen:
-2 = -2*1 + 0*X + 0*X²
-2 = 1*1 + 1*X + 0*X²
3 = -2*1 +(- 1)*X + 1*X²
Aber das geht nicht, mindest. zwei letzte Gleichungen
|
|
|
| |
|
> Hallo noch mal! Vielen Dank erstmal. Aber Fragen trotzdem
> bleiben. Guck mal, mit diese Zeilentausch bekomme ich schon
> eine Basis. meinst du ich muss so was machen:
>
> -2 = -2*1 + 0*X + 0*X²
> -2 = 1*1 + 1*X + 0*X²
> 3 = -2*1 +(- 1)*X + 1*X²
>
> Aber das geht nicht, mindest. zwei letzte Gleichungen
hallo,
aus dem, was Du hier schreibst, werde ich nicht recht schlau.
Laß uns doch mal ein paar Schritte weiter zurückgehen.
Du weißt, daß B:= (1,x,x²) eine Basis von [mm] P_2 [/mm] ist, und Du möchtest wissen, obC= (-2, X+1, X²-X-2) eine Basis ist. Da die ebenfalls drei Vektoren sind, brauchst Du nur ihre lineare Unabhängigkeit nachzuweisen.
Du mußt also herausfinden, ob aus a*(-2(+b*(X+1)+ c*(X²-X-2)=0 folgt, daß a=b=c=0 ist.
Los geht's
Sei 0=a*(-2)+b*(X+1)+ c*(X²-X-2) = [mm] c*x^2 [/mm] + (b-c)x + (-2a-2c)*1=0
==> (warum?) c=0, (b-c)=0 (-2a-2c)=0 ==> ..., also?
Die Sache mit den matrizen beruht darauf, daß Du die vektoren von C als Koordinatenvektoren bzgl B schreibst:
[mm] -2=\vektor{0\\0\\-2}_B [/mm] , [mm] x+1=\vektor{0\\1\\1}_B, x^2-x-2=\vektor{1\\-1\\-2}_B.
[/mm]
Die kannst Du dann in eine Matrix stellen und den Rang bestimmen.
Ist Deine Standardbasis [mm] A=(x^2, [/mm] x, 1), dann sind die Koordinatenvekoren genau andersrum. An der Unabhängigkeit ändert sich nichts.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 So 01.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Liebe Angela,
vielen Dank für Erklärung. Hier ist noch paar Fragen-
1."daß B:= (1,x,x²) eine Basis von ist" Warum nicht (x²,x,1) ein Basis?
2. Warum bei x²-x-2 vektor ist 1,1,-2, und nicht 1,-1,-2. Wir haben da -x.
3- Und wie kann ich dann Koordinaten des Polynoms f=3x²-2x-2 bestimmen bezüglich diese Basis?
4. Und wichtigste: in welche Ordnung muss ich die vektoren von Polynom screiben? Von kleinste Grad anfangen, oder von grösste? Horisontal oder vertikal schreiben?
|
|
|
| |
|
> Liebe Angela,
> vielen Dank für Erklärung. Hier ist noch paar Fragen-
>
> 1."daß B:= (1,x,x²) eine Basis von ist" Warum nicht
> (x²,x,1) ein Basis?
Hallo,
beide sind eine Basis. Ich hatte Dir das doch auch gesagt: wenn Du die Basis A= (x²,x,1) nimmst, mußt Du die Koordinatenvektoren genau andersrum aufschreiben.
Ob Du B oder C nimmst, ist egal. Du darfst bloß nicht zwischendurch wechseln. B:= (1,x,x²) ist üblicher wegen [mm] (x^0, x^1, x^2). [/mm] Es ist schön ordentlich.
> 2. Warum bei x²-x-2 vektor ist 1,1,-2, und nicht 1,-1,-2.
> Wir haben da -x.
Ja. Wenn ich kein Minus habe, ist das ein Fehler. Passiert, tut mir leid.
> 3- Und wie kann ich dann Koordinaten des Polynoms
> f=3x²-2x-2 bestimmen bezüglich diese Basis?
[mm] \vektor{3\\-2\\-2}_A, \vektor{-2\\-2\\3}_B.
[/mm]
Achso. Du meinst sicher die Basis C= (-2, X+1, X²-X-2) von zuvor!
Das geht so: suche a,b,c mit
3x²-2x-2 = a*(-2)+b*(X+1)+c*(X²-X-2).
Sortieren, Koeffizienten vergleichen. Es ist dann [mm] 3x²-2x-2=\vektor{a\\b\\c}_C.
[/mm]
Ein (nur auf den ersten Blick) anderer Weg, indem Du die Koordinatenvektoren bzgl. B verwendest:
3x²-2x-2 [mm] =\vektor{-2\\-2\\3}_B=a*\vektor{-2\\0\\0}_B [/mm] + [mm] b*\vektor{1\\1\\0}_B [/mm] + [mm] c*\vektor{-2\\-1\\1}_B.
[/mm]
Dies kannst Du mit dem Gaußalgorithmus in einer Matrix lösen.
> 4. Und wichtigste: in welche Ordnung muss ich die vektoren
> von Polynom screiben? Von kleinste Grad anfangen, oder von
> grösste? Horisontal oder vertikal schreiben?
Vertikal.
Die Reihenfolge gibt Dir C= (-2, X+1, X²-X-2) vor.. Das ist ein geordnetes Dreitupel. In der oberen Komponente Deiner Koordinatenvektoren stehen die Vielfachen von -2.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 01.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Hallo, Angela! Noch eine Frage
Warum
c* (-2,-2,3), warum nicht c* (1,-1,2)?
(-2,-2,3) das ist unsere Koordinaten, aber vektor ist 1,-1,2
|
|
|
| |
|
> Hallo, Angela! Noch eine Frage
>
> Warum
> c* (-2,-2,3),
Hallo,
schon wieder ein fehler, gräßlich...
> warum nicht c* (1,-1,2)?
> (-2,-2,3) das ist unsere Koordinaten, aber vektor ist
> 1,-1,2
da ich mit der Basis [mm] B=(1,x,x^2) [/mm] arbeite, heißt es richtig $ [mm] c\cdot{}\vektor{-2\\-1\\1}_B. [/mm] $
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 01.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Liebe Angela, vielen Dank!
Ich habe grade jetzt diese Aufgabe gelöst! Juhuuuuu!!!!!!!! Aber ich habe noch viel-viel fragen, da ich im März Klausur habe. Hilfst du mir auch weiter? Bitte! Ich finde diese Forum einfach SUPER!!!
Gruß
Tanja
|
|
|
|
