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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | (a) Es sei $ [mm] A=\pmat{1&0&0 \\ 1&-2&0 \\ 2&-1&1} \in M_{3x3}(\IR)$. [/mm] Berechnen Sie [mm] $A^3 [/mm] -3A + [mm] 2E_3 [/mm] $ und verwenden Sie das Ergebnis zur Berechnung von $ [mm] A^{-1} [/mm] $ .
(b) Gegeben sei die Matrix [mm] $A=\pmat{2&0&1 \\ 0&3&0 \\ 1&0&2}. [/mm] Lösen Sie die folgende Matrizengleichung nach X auf und bestimmen Sie anschließend [mm] X:A^T X A^{-1} = A^T - X A^{-1} [/mm] |
Huhu
Zum Aufgabenteil (a) hab ich eine Frage und zwar: Wie addiert man eine Zahl zu einer Matrix? *rot wird*
Ich komm folgendermaßen drauf: [mm] $A^3 [/mm] -3A + [mm] 2E_3 [/mm] $ hab ich berechnet (= 0) und um das Ergebnis für $ [mm] A^{-1} [/mm] $ zu verwenden hab ich die Formel umgestellt:
[mm] $A^3 [/mm] -3A + [mm] 2E_3 [/mm] = 0$
$ [mm] \Rightarrow [/mm] 3A - [mm] A^3 [/mm] = [mm] 2E_3 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \bruch [/mm] {3}{2} A - [mm] \bruch{-A^3}{2} [/mm] = [mm] E_3 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow A(\bruch [/mm] {3}{2} - [mm] \bruch{1}{2} A^2) [/mm] = [mm] E_3 [/mm] $
mit $ A * [mm] A^{-1} [/mm] = E [mm] \Rightarrow A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {E}{A} $
$ [mm] \Rightarrow \bruch [/mm] {3}{2} - [mm] \bruch{1}{2} A^2 [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] $
Yaaa, alles ganz kleinschrittig ^^
$ [mm] \bruch{1}{2} A^2 [/mm] $ zu berechnen ist nicht das Problem aber wie zieh ich das von $ [mm] \bruch [/mm] {3}{2} $ ab?
Aufgabenteil (b) mag ich gern mein Ergebnis mal mit mitrechnenden vergleichen.
$ X = [mm] \pmat{11/8 & 0 & 7/8 \\ 0 & 9/4 & 0 \\ 7/8 & 0 & 11/8} [/mm] $
LG
Fin
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Hallo Fincayra,
> (a) Es sei [mm]A=\pmat{1&0&0 \\ 1&-2&0 \\ 2&-1&1} \in M_{3x3}(\IR)[/mm].
> Berechnen Sie [mm]A^3 -3A + 2E_3[/mm] und verwenden Sie das Ergebnis
> zur Berechnung von [mm]A^{-1}[/mm] .
>
> (b) Gegeben sei die Matrix [mm]$A=\pmat{2&0&1 \\ 0&3&0 \\ 1&0&2}.[/mm]
> Lösen Sie die folgende Matrizengleichung nach X auf und
> bestimmen Sie anschließend [mm]X:A^T X A^{-1} = A^T - X A^{-1}[/mm]
>
> Huhu
>
> Zum Aufgabenteil (a) hab ich eine Frage und zwar: Wie
> addiert man eine Zahl zu einer Matrix? *rot wird*
> Ich komm folgendermaßen drauf: [mm]A^3 -3A + 2E_3[/mm] hab ich
> berechnet (= 0) und um das Ergebnis für [mm]A^{-1}[/mm] zu
> verwenden hab ich die Formel umgestellt:
>
> [mm]A^3 -3A + 2E_3 = 0[/mm]
> [mm]\Rightarrow 3A - A^3 = 2E_3[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch {3}{2} A - \bruch{-A^3}{2} = E_3[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A(\bruch {3}{2} - \bruch{1}{2} A^2) = E_3[/mm]
> mit
> [mm]A * A^{-1} = E \Rightarrow A^{-1} = \bruch {E}{A}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch {3}{2} - \bruch{1}{2} A^2 = A^{-1}[/mm]
>
> Yaaa, alles ganz kleinschrittig ^^
> [mm]\bruch{1}{2} A^2[/mm] zu berechnen ist nicht das Problem aber
> wie zieh ich das von [mm]\bruch {3}{2}[/mm] ab?
>
Hier steht doch: [mm]\bruch{3}{2}*E_{3}-\bruch{1}{2} A^2[/mm]
> Aufgabenteil (b) mag ich gern mein Ergebnis mal mit
> mitrechnenden vergleichen.
>
> [mm]X = \pmat{11/8 & 0 & 7/8 \\ 0 & 9/4 & 0 \\ 7/8 & 0 & 11/8}[/mm]
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> LG
> Fin
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Huhu Mathepower
Danke für die Antwort : )
>
> Hier steht doch: [mm]\bruch{3}{2}*E_{3}-\bruch{1}{2} A^2[/mm]
>
Achso. Schön =D
>
> > Aufgabenteil (b) mag ich gern mein Ergebnis mal mit
> > mitrechnenden vergleichen.
> >
> > [mm]X = \pmat{11/8 & 0 & 7/8 \\ 0 & 9/4 & 0 \\ 7/8 & 0 & 11/8}[/mm]
>
> >
>
>
> Stimmt.
>
Cool, danke ^-^
Lange nicht mehr eine so angenehme Aufgabe gehabt *freu*
LG
Fin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Fr 13.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ich habe ein Frage zu der Aufgabe a)
Ich komme nur auf die Darstellung:
$ [mm] \Rightarrow A(\bruch [/mm] {3}{2} - [mm] \bruch{1}{2} A^2) [/mm] = [mm] E_3 [/mm] $
Mit der Gleichung [mm] A*A^{-1}=E [/mm] weiß ich doch dann, dass $ [mm] \bruch [/mm] {3}{2} - [mm] \bruch{1}{2}*A^2=A^{-1} [/mm] $ sein muss.
Warum soll da jetzt $ [mm] \bruch{3}{2}\cdot{}E_{3}-\bruch{1}{2} A^2 [/mm] $ stehen? Ich schaue seit einer halben Stunde drauf, sehe es aber nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schon diese Darstellung :
$ [mm] \Rightarrow A(\bruch [/mm] {3}{2} - [mm] \bruch{1}{2} A^2) [/mm] = [mm] E_3 [/mm] $ ist sinnlos. du kannst mit matrizen nicht wie mit Zahlen umgehen!
[mm] (\bruch [/mm] {3}{2}A - [mm] \bruch{1}{2} A^3) =E*(\bruch [/mm] {3}{2}A - [mm] \bruch{1}{2} A^3) =A*A^{-1}*(\bruch [/mm] {3}{2}A - [mm] \bruch{1}{2} A^3) =A*(\bruch {3}{2}A^{-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} A^{-1}A^3) [/mm] = [mm] A*(\bruch [/mm] {3}{2}E - [mm] \bruch{1}{2} E*A^2) =A*(\bruch [/mm] {3}{2}E - [mm] \bruch{1}{2} A^2) [/mm]
wenn du unbedingt statt [mm] A*A^{-1} [/mm] A/A schreiben musst dann behalte wenigstens im Kopf, dass die "1" in der Gruppe der Matrizen nicht die Zahl 1 ist sondern E
kurz man kann durch vektoren und matrizen nicht "teilen" nur mit dem inversen mult.
ebensowenig kann man matrizzen, die nicht dasselbe Format haben addieren, also insbesondere nicht eine [mm] 3\times [/mm] 3 matrix zu einer [mm] 1\times1 [/mm] matrix= Zahl addieren.
gruss leduart
gruss leduart
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