Matrizen, AB=BA, Unterraum < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei $U [mm] \subseteq [/mm] M(n,K)$ (Menge der nxn-Matrizen mit Einträgen aus K) mit
[mm] U=\{A \in M(n,K)|AB=BA \forall B \in M(n,K)\}.
[/mm]
Bestimme eine Basis von U.
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Hi!
Ich würde behaupten, dass die Basis einfach [mm] B_U=\{E_n\} [/mm] ist.
Denn mit der Einheitsmatrix (und allen Vielfachen davon) ist AB=BA natürlich erfüllt.
Mein Problem ist nur, dass ich nicht weiß, wie man zeigen kann, dass es keine anderen Matrizen gibt, für die dann auch diese Kommutativität gilt.
Ich habe versucht mit "Sei [mm] A\not=\lambda*E_n [/mm] und AB=BA [mm] \forall [/mm] B [mm] \in [/mm] M(n,K) ...", aber irgendwie hat mich das nicht weitergebracht.
Kann mir da jemand helfen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Nimm die Standardbasis von M(n,K), diese enthält [mm] n^2 [/mm] Matrizen.
Nun schau mal , was für A [mm] \in [/mm] M(n,K) herauskommt, wenn A mit jeder dieser [mm] n^2 [/mm] Matrizen vertauschbar ist
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:37 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort erstmal.
Also ich hab das jetzt so:
Erstmal hab ich mit [mm] 1_{i,j} [/mm] die Matrizen bezeichnet, die in der i-ten Zeile und j-ten Spalte eine 1 haben, ansonsten 0.
Dann habe ich beispielhaft man [mm] 1_{1,1}*A [/mm] und [mm] A*1_{1,1} [/mm] berechnet und dann kommt man darauf, dass [mm] a_{1,1} [/mm] beliebig sein kann und [mm] a_{1,m}=a_{m',1}=0 \forall [/mm] m,m' [mm] \in \{2,...,n\} [/mm] gelten muss.
Dann das gleiche für j=2, also mit [mm] 1_{1,2}:
[/mm]
Daraus folt dann [mm] a_{2,2}=a_{1,1} [/mm] und es muss gelten [mm] a_{2,m}=a_{m',2}=0 \forall [/mm] m,m' [mm] \in \{3,...,n\}.
[/mm]
etc.
Für j=n letztendlich:
[mm] a_{n.n}=a_{1,1}.
[/mm]
Passt das so?
So habe ich nur n Matrizen eigentlich verwendet, nämlich die, die jeweils eine 1 in der 1. Zeile haben.
Aber der Lösungsweg ist etwas lang und ungenau meiner Meinung nach. Du wolltest auch sicher auf etwas anderes raus. Es funktioniert war, man kommt darauf, dass es Vielfache von der Einheitsmatrix sein müssen, aber kann ich das irgendwie besser machen?
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 12.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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