Matrizen (Dim, Kern, Rang...) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich bin 'nen kleiner Ersti mit Verständnisproblemen in Sachen Matrizenrechnung.
Allgemein komm ich mit den Begriffen Dimension, Kern, Basis, Bild, Rang und Spaten nicht soo gut klar. (Ich weiß, ist etwas viel *g*)
Kern wurd mir mal so erklärt, dass das z.B. die x für die f(x) = 0 gibt.
Aber bei Matrizen kann ich mir das so schlecht vorstellen.
Laut meinem Script ist der Rang = Dim (Spat)
Entspricht dann ein Spat einer lin. unabhängigen Zeile (Gauss-Algorithmus)?
Bild kenn ich als Menge auf die eine Funktion abbildet. (wieder schwer für mich 'ne Matrix als Abbildungsfunktion zu betrachten)
Auf einer anderen Seite stand, dass das Bild durch Gauss-Algorithmus auf die Matrix ermittelt werden kann. Dabei muss man aber auf die Spalten und nicht auf die Zeilen anwenden. (wieso unbedingt so?)
Kann man nicht theoretisch den Rang ermitteln und daraus das Bild ableiten? Man sucht ja bei beiden Fällen lin. unabhängige Zeilen/Spalten.
Oder ist das jetzt nun "Naturgesetz"?
Das ist 'nen Weg von dieser Seite
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 6 \\ 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 8 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1& 1 \\ 1 & 2 & 2 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1& 0 \\ 1 & 2 & 0 }
[/mm]
Was ist Dimension eigentlich genau? Immer eine natürliche Zahl (0 sei mal bei [mm] \IN [/mm] dabei  ) der lin. unabh. Vektoren? Ist Rang ein Spezialfall der Dimension (also Dim. der Ursprungsgleichung?)
Wir haben 'ne Testklausur geschrieben und eine Aufgabe war:
Gegeben ist die Matrizen A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm]
Sei L: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] die lineare Abbildung mit L(v) = Av für v [mm] \in [/mm] R³.
u.a. sollte
v) Bild(L) [= R²]
vi) dim Kern(L) [=1] berechnet werden. Musterlösung -> []
Kann leider nicht die Lösung nachvollziehen.
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Hab' hier noch 'ne Übungsaufgabe, die ich auch nicht so nachvollziehen kann.
B= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 1 & -4 & t } [/mm]
a) Bestimme rang(B) in Abhängigkeit von t.
b) Welche Dimension hat [mm] \IL(B, \overrightarrow{0}) [/mm] in Abhängigkeit von t?
c) Sei jetzt t = 3. Bestimmen Sie eine Basis des Kerns der durch B gegebenen lineraren Abbildung [mm] F_{B}: \IR^{4} \to \IR³, \overrightarrow{x} \mapsto B\overrightarrow{x}.
[/mm]
also a) müsste
ja so gehen:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 1 & -4 & t } [/mm] => B= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & t+1 }
[/mm]
also wäre [mm] Rang(B)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } t \mbox{ gleich 3} \\ 3, & \mbox{für } t \mbox{ ungleich 3} \end{cases}
[/mm]
b und c weiß ich nur durch unser Forum, kann's aber nicht nachvollziehen.
b)
[mm] \IL(B, \overrightarrow{0})= \begin{cases} 2, & \mbox{für } t \mbox{ gleich 3} \\ 1, & \mbox{für } t \mbox{ ungleich 3} \end{cases}
[/mm]
c)
r* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + s * [mm] \vektor{-5 \\ 0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Bin für jede Hilfe dankbar.
Lob an das Forum für die guten Matheschreibmöglichkeiten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Pocket |
Moin,
also zuerst sorry wenn ich nicht mit formeln komme, dies ist mein erster Post und ich muss noch den Syntax lernen ;o)
Aber für meine Antwort ist dies auch gar nicht nötig, da ich mal versuchen will Dir die Zusammenhänge ganz informell zu verdeutlichen. Ich habe selbst nämlich meisten das Problem gehabt dass ich aus den Formalen Zusammenhängen erst etwas lesen kann wenn ich den Hintergrund verstanden habe...
Also eine Matrix kann insofern als Abbildung betrachtet werden, dass sie mit einem Vektor mal genommen einen veränderten Vektor ausspuckt. Dieser neue Vektor hat eine Dimension, die nicht unbedingt gleich seiner ursprungsdimension sein muss. Das hast Du zB wenn Du vom [mm]\IR^3 \rightarrow \IR^2[/mm] abbildest. Das kann zB dadurch passieren wenn Du eine Zeile der Matrix eliminieren kannst.
nehmen wir an Du hast die lineare Abbildung als Matrix geschrieben und konntest dann eine Zeile eliminieren, dann ist der Rang der 3x3 Matrix aber nur noch 2! und dann schickt quasi immer eine Dimension der Vektoren die man hineingibt auf 0!
Hast Du jetzt vektoren die nur in dieser Dimension <>0 sind werden sid komplett auf 0 abgebildet. und Somit hast Du die Dimension des Kerns um 1 erhöht, weil es Vektoren gibt die von der Matrix auf null geschickt werden.
in unserem Fall gibt es also im Kern die {0} (die ist immer drin und einen Vektor [mm] a \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] der dann eine Gerade entlang der eliminierten Achse verläuft und auch immer null ist. Er bildet dann soagr einen Vektorraum der Dimension 1. Unser Kern hat also die Dimension 1!!
Unsere Matrix hatte den Rang 2, also hat das Bild der Abbildung auch die Dimension 2!
Und der Zusamnenhang ist somit klar, die Dim der Ausgangsgrösse setzt sich zusammen auch Dim des Bildes und Dim des Kerns der Abbildung. Je mehr Dimensionen durch die Matrix auf null geschickt werden desto grösser der Kern und umso kleiner das Bild.
Ich hoffe dass ICh Dir ein wenig helfen konnte damit, beim nächsten mal habe ich auch tex gelernt.. ;o))
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:14 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Saturnspower |
'Nabend
ok, das mit der Abbildung durch eine Matrix ist mir jetzt doch ziemlich klar (war doch nicht so schwer wie ich dachte *g*)
also durch eine 3x4 Matrix (wie die, dich ich genannt hab' [B]) wird ein 4er Vektor in den Raum [mm] \IR^{3} [/mm] abgebildet.
Danke schon mal  das hat mir ziemlich für's verstehen geholfen. Auch wenn mich die Formulierung "Je 'mehr Dimensionen durch die Matrix auf null geschickt werden' desto grösser der Kern"
Dimensionen auf Null schicken? Glaub du wolltest es mir irgendwie veranschaulichen. Also meinst du das eine Dimension, quasi ein Teil des Vektors bei der Abbildung von (z.B.) 3 auf 2 "verloren" geht und auf Null abgebildet wird. Daher hat der Kern mindestens schon mal die Dimension 1, oder?
Ok, was du da sagst sagt der Dimensionssatz ja aus
L: V [mm] \to [/mm] W
dim V = dim(Kern L) + dim(Bild L)
Ist dann also der Rang (V) = Dim (V) ?
Also ist Rang immer die Dimension der Ursprungsmatrix oder wie?
Wenn ich jetzt bei meiner Beispielsmatrix bleibe... (für Rang)
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 6 \\ 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 8 } \to \pmat{ 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 } \to \pmat{ 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also ist der Rang 2. (?)
http://math-www.upb.de/~junge/mfmII-ss02/Kern_und_Bild.pdf
Auf der Seite wird auch das Bild berechnet. (ok, ich seh nicht genau, wo das Bild berechnet wird *g*...)
Das Bild soll aber demnach durch [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 }^{T} [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 }^{T} [/mm] aufgespannt werden? Heißt das dass die Dimension des Bildes auch 2 ist? Folglich der Kern 0? Oder hab' ich den Rang falsch ermittelt?
Zu meinen Aufgaben, die ich gepostet hab'...
ich hab' ja den Rang in a) berechnet (was, wenn ich das alles hier richtig verstanden hab' auch die Dim(B) ist... ?)
In b) war so wie ich das sehe Dim(Kern(B)) gefordert.
Laut der Lösung heißt das also (und wenn ich den Dim-Satz richtig kapiere), dass für t=3:
Rang(B) = Dim(B) = Dim (Kern(B)) ist und => Dim(Bild) = 0 ???
Ansonsten [mm] t\not=3: [/mm]
Rang(B) [= Dim(B)] = Dim (Kern(B)) + Dim(Bild(B)) <=>
3 = 1 + 2(Ist das dann wirklich die Dim vom Bild?)
Die Lösung von c) hab' ich inzwischen etwas besser verstanden.
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 1 & -4 & 3 } \to [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & 4 } \to [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } \to [/mm]
=>
[mm] x_{3} [/mm] = 2 * [mm] X_{4}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 2*x_{3} [/mm] - [mm] x_{4}
[/mm]
für [mm] x_{4} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] wählt man freie Variablen [mm] x_{2}=r [/mm] und [mm] x_{4}=s
[/mm]
(und es wurde irgendwie auch mit der Dim(Kern(B))=2 begründet)
[mm] x_{1} [/mm] = r - 5s
[mm] x_{2} [/mm] = r +0s
[mm] x_{3} [/mm] = 0r + 2s
[mm] x_{4} [/mm] = 0r + s
und daraus dann die Lösung die ich abgeschrieben hab'.
Ok, Verfahren ist mir dann schon eher klar, nur WARUM?
Ich meine die veränderte Matrix war ja die, zur Bestimmung des Ranges.
Oder hat das damit zu tun, weil laut Lösung und Dim-Gleichung im Fall t=3 (wie von der Aufgabe)
t=3: Rang = 2, (laut Lösung) Dim(Kern(B))= 2
sein muss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Hexe |
So ich glaube dein größtes Verständnisproblem ist ein Denkfehler.
In dimV=dim Bild(A)+dim Kern(A).
hat die dim von V nicht das geringste mit der Dim deiner Matrix zu tun, vielmehr ist die dim also der Rang der Matrix gleich der dim des Bildes. in deinem oberen beispiel hast du also 3 (dimV)=2(dim Bild)+ dim Kern was für den Kern eine Dimension von 1 ergibt.
So ich hoffe der Rest ergibt sich nun
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