Matrizen Eigenvektor < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe 1 | Gegeben sei die komplexe Matrix
[mm] A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & i \\
0 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
An welcher Eigenschaft der Matrix A können Sie ablesen, dass alle Eigenwerten reell sind? |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie, dass [mm] \vec x_1 = \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] ein Eigenvektor der Matrix A ist. |
Guten Abend,
ich bin gerade dabei mich in Matritzen einzuarbeiten ... .
Die Lösung zur Aufgabe 1 konnte ich trotz gutem Lehrbuch nicht finden.
Aufgabe 2 habe ich einen Ansatz:
[mm](A - \lambda\cdot E) \cdot \vec x_1 \ = \ \vec 0[/mm]
eigensetzt habe ich es so:
[mm] \begin{pmatrix}
1- \lambda & 0 & i \\
0 & 2- \lambda & 0 \\
-1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Dann habe ich das Produkt ausgerechnet:
[mm] \begin{pmatrix}
1- \lambda & 0 & i \\
0 & 2- \lambda & 0 \\
-1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
i(1- \lambda) & 0 & i \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
Somit habe ich nun:
[mm]\begin{pmatrix}
i(1- \lambda) & 0 & i \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Das ist ja schon ein bissel unlogisch. Was habe ich hier falsch gemacht?
Wünsche noch einen schönen Abend,
Gruß
Lyrone.
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Hallo Lyrone,
> Gegeben sei die komplexe Matrix
>
> [mm]A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & i \\
0 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
Die Matrix muss doch bestimmt so lauten:
[mm]A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & i \\
0 & 2 & 0 \\
\red{-i} & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> An welcher Eigenschaft der Matrix A können Sie ablesen,
> dass alle Eigenwerten reell sind?
> Zeigen Sie, dass [mm]\vec x_1 = \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> ein Eigenvektor der Matrix A ist.
> Guten Abend,
>
> ich bin gerade dabei mich in Matritzen einzuarbeiten ... .
>
> Die Lösung zur Aufgabe 1 konnte ich trotz gutem Lehrbuch
> nicht finden.
>
>
> Aufgabe 2 habe ich einen Ansatz:
>
> [mm](A - \lambda\cdot E) \cdot \vec x_1 \ = \ \vec 0[/mm]
>
> eigensetzt habe ich es so:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1- \lambda & 0 & i \\
0 & 2- \lambda & 0 \\
-1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dann habe ich das Produkt ausgerechnet:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1- \lambda & 0 & i \\
0 & 2- \lambda & 0 \\
-1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
i(1- \lambda) & 0 & i \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Somit habe ich nun:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
i(1- \lambda) & 0 & i \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das ist ja schon ein bissel unlogisch. Was habe ich hier
> falsch gemacht?
>
>
> Wünsche noch einen schönen Abend,
>
> Gruß
> Lyrone.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Mathepower,
danke für den Hinweis, du hast Recht. Ich habe meine eigene Schrift nicht erkannt. Nichts desto trotz ist es das gleiche Ergebnis. Aber zur zur besseren Übersicht schreibe ich nochmal alles hin:
[mm]A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & i \\
0 & 2 & 0 \\
-i & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
[mm](A - \lambda\cdot E) \cdot \vec x_1 \ = \ \vec 0[/mm]
[mm]\begin{pmatrix}
1- \lambda & 0 & i \\
0 & 2- \lambda & 0 \\
-i & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Das einzelne Produkt:
[mm]\begin{pmatrix}
1- \lambda & 0 & i \\
0 & 2- \lambda & 0 \\
-i & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
i(1- \lambda) & 0 & i \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
Somit habe ich:
[mm]\begin{pmatrix}
i(1- \lambda) & 0 & i \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Wo habe ich mir hier grob vertan, bin ich überhaupt richtig vorgegangen?
Schönen Gruß,
Lyrone.
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Hallo Lyrone,
> Hallo Mathepower,
>
> danke für den Hinweis, du hast Recht. Ich habe meine eigene
> Schrift nicht erkannt. Nichts desto trotz ist es das
> gleiche Ergebnis. Aber zur zur besseren Übersicht schreibe
> ich nochmal alles hin:
>
> [mm]A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & i \\
0 & 2 & 0 \\
-i & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm](A - \lambda\cdot E) \cdot \vec x_1 \ = \ \vec 0[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1- \lambda & 0 & i \\
0 & 2- \lambda & 0 \\
-i & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das einzelne Produkt:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1- \lambda & 0 & i \\
0 & 2- \lambda & 0 \\
-i & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
i(1- \lambda) & 0 & i \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Somit habe ich:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
i(1- \lambda) & 0 & i \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wo habe ich mir hier grob vertan, bin ich überhaupt richtig
> vorgegangen?
Nun, Matrix mal Vektor gibt einen Vektor.
Siehe hier: Matrizenkalkül
>
> Schönen Gruß,
> Lyrone.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Mathepower,
> Siehe hier:
> Matrizenkalkül
okay, danke. Also neuer Versuch:
[mm]\begin{pmatrix}
1- \lambda & 0 & i \\
0 & 2- \lambda & 0 \\
-i & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} i \left(2-\lambda \right) \\ 0 \\ 2-\lambda \end{pmatrix}[/mm]
Daraus nun:
[mm]\begin{pmatrix} i(2-\lambda) \\ 0 \\ 2-\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Da es einen Eigenwert von [mm]\lambda = 2[/mm] gibt ist dies dann die Rätsels Lösung?
Schönen Abend noch ...
Gruß
Lyrone.
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Hallo Lyrone,
> Hallo Mathepower,
>
> > Siehe hier:
> >
> Matrizenkalkül
>
> okay, danke. Also neuer Versuch:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1- \lambda & 0 & i \\
0 & 2- \lambda & 0 \\
-i & 0 & 1- \lambda
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} i \left(2-\lambda \right) \\ 0 \\ 2-\lambda \end{pmatrix}[/mm]
>
> Daraus nun:
>
> [mm]\begin{pmatrix} i(2-\lambda) \\ 0 \\ 2-\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Da es einen Eigenwert von [mm]\lambda = 2[/mm] gibt ist dies dann
> die Rätsels Lösung?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Schönen Abend noch ...
Danke, gleichfalls.
>
> Gruß
> Lyrone.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Mathepower,
danke für deine Hilfe!
Gruß,
Lyrone.
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