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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Matrizen: Spuren vonMatrizen
Matrizen: Spuren vonMatrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrizen: Spuren vonMatrizen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Fr 12.11.2004
Autor: brauchtHilfe

Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hoffentlich kann mir jemand helfen!!

Aufgabe1a:

Sei K ein Körper und A,B [mm] \in [/mm]  K(nxn), mit n [mm] \ge [/mm] 1
Zu zeigen ist:
tr(AB) = tr(BA)
tr soll die Spur der Matrix sein.

Aufgabe1b:

Zeige: Die Gleichung
AB - BA = E
     1    0
E= 0    1

ist mit Matrizen A,B [mm] \in \IR [/mm] (n x n), mit n [mm] \ge [/mm] 1
unlösbar.

Ich hoffe ihr werdet daraus schlauer als ich, bin sehr dankbar für den kleinsten Hinweis!!
Chrissie

        
Bezug
Matrizen: Spuren vonMatrizen: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Fr 12.11.2004
Autor: Gnometech

Hallo Chrissie!

Das ist zum Glück nicht allzu schwer - keine Sorge, das bekommst Du heraus!

a)

Wenn $A = [mm] (a_{ij})_{i,j}$ [/mm] eine $(n [mm] \times [/mm] n)$-Matrix ist, dann ist die Spur doch so definiert:

$tr(A) = [mm] \sum_{k=1}^n a_{kk}$ [/mm]

Also einfach die Summe der Diagonalelemente.

Dann definiere doch einfach $C := AB$ und $D := BA$. Dann sind $C$ und $D$ zwei im Allg. verschiedene Matrizen. Die Einträge kannst Du hinschreiben und durch die Einträge von $A$ und $B$ ausdrücken.

Zeigen mußt Du nur noch: [mm] $\sum_{k=1}^n c_{kk} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n d_{kk}$ [/mm]

Schreibe das in den Einträgen von $A$ und $B$, dann siehst es schon.

Und zur b): wende a) an! Du weißt schon, dass $tr(AB) = tr(BA)$ gilt und nach Definition ist außerdem klar: $tr(C + D) = tr(C) + tr(D)$.

Welche Spur hat also die Matrix $AB - BA$ immer? Und was ist mit der Einheitsmatrix?

Lars

Bezug
                
Bezug
Matrizen: Spuren vonMatrizen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:26 So 14.11.2004
Autor: brauchtHilfe

Hallo Lars!
Ersteinmal danke für deine Hinweise, ich bin nun zumindest ein Stück schlauer (o:
Ich habe noch eine Frage zur ersten Aufgabe:
Das mit der Definition von C und D hab ich verstanden, aber wie soll ich dann beweisen, dass die Spur von C gleich die Spur von D ist? Brauche ich dafür die allgemeine Definition von der Multiplikation von Matrizen und was meinst du mit ich soll das in den Einträgen von A und B schreiben bzw. ausdrücken?
Ich hoffe meine Frage erscheinen dir nicht als zu blöd,
danke im voraus
Chrissie

Bezug
                        
Bezug
Matrizen: Spuren vonMatrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:35 So 14.11.2004
Autor: Marc

Hallo Chrissie!

>  Ich habe noch eine Frage zur ersten Aufgabe:
>  Das mit der Definition von C und D hab ich verstanden,
> aber wie soll ich dann beweisen, dass die Spur von C gleich
> die Spur von D ist? Brauche ich dafür die allgemeine
> Definition von der Multiplikation von Matrizen und was
> meinst du mit ich soll das in den Einträgen von A und B
> schreiben bzw. ausdrücken?

Exakt :-)

Viel Erfolg,
Marc

Bezug
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