Matrizen ineinander überführen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Jaseb |
| Aufgabe | Kann man die beiden Matrizen
[mm] \pmat{ 4 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 3 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 3 } [/mm] durch Zeilenumformungen vom Typ I, II, III und Spaltenvertauschungen ineinander überführen??? (Bitte mit Begründung!) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Stehe auf dem Schlauch. habe die rechte Matrix zunächst auf die obere Dreiecksform gebracht und dann sofort gedacht: ja, da in meinem buch der satz stand dass sich jede beliebige pxq matrix in eine p x q matrix der oberen dreiecksform überführen kann. aber als ich es probiert habe ging es nicht.. bin mir mitlerweile sicher dass es NICHT funktioniert, aber bin wie gesagt etwas verwirrt und außerdem fehlt mir die begründung..
für hilfe wäre ich sehr dankbar!
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Hi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich bin mir da nicht so sicher aber die erste Matrix ist doch gar keine [mm] \\3\times\\3 [/mm] Matrix. Die Spalten dieser Matrix sind doch linear abhängig von einander. Die der zweiten Matrix nicht.
Schauen wir uns mal deinen Satz an den du aufgeschrieben hast. Jede [mm] \\p\times\\q [/mm] Matrix kann in eine obere Dreicksmatrix der Form [mm] \\p\times\\q [/mm] überführt werden.
Da streng genommen deine erste Matrix eine [mm] \\1\times\\3 [/mm] Matrix ist kann sie nicht in eine obere Dreickesmatrix der Form [mm] \\3\times\\3 [/mm] überführt werden.
Da ich mir mit der Begründung nicht ganz sicher bin werde ich die Frage als halbbeantwortet setzen.
Vielleicht wird jemand noch was ergänzen oder mich korriegieren.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Jaseb |
erstmal vielen dank!
mmh ok klingt für mich erstmal logisch und die passende begründung wär dann ja auch dabei..
nur wenn du dir schon nicht ganz sicher bist, ich bin es natürlich auch nicht 
bin erst ganz am anfang meines mathestudiums und etwas erschlagen von den 1000 dingen die plötzlich vorausgesetzt werden:
wie erkennt man ganz allgemein nochmal "linear abhängig/unabhängig", hab mir die Definitionen zwar durchgelesen aber naja noch nicht ganz sicher..
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Hallo Jaseb!
Die Antwort von Tyskie ist zwar richtig, aber man kann es auch anders ausdrücken, obwohl es direkt aus seiner Gleichung folgt. Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sich der eine als Vielfaches des anderen darstellen lässt. Also z. B. sind [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] und [mm] \vektor{2\\4\\6} [/mm] linear abhängig, denn [mm] 2*\vektor{1\\2\\3}=\vektor{2\\4\\6}. [/mm] In deinem Fall sieht man dann direkt, dass in der ersten Matrix sowohl die Spalten als auch die Zeilen linear abhängig sind, denn die Zeilen waren glaube ich alle gleich (was ja quasi ein "Einfaches Vielfaches" ist), und die Spalten waren einmal die Hälfte und einmal das anderthalbfache oder so ähnlich.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Tyskie84!
> Hi,
>
>
>
> ich bin mir da nicht so sicher aber die erste Matrix ist
> doch gar keine [mm]\\3\times\\3[/mm] Matrix. Die Spalten dieser
> Matrix sind doch linear abhängig von einander. Die der
> zweiten Matrix nicht.
Wieso sollte das dann keine [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix mehr sein? Selbstverständlich ist das eine, sie hat doch drei Zeilen und drei Spalten!
> Schauen wir uns mal deinen Satz an den du aufgeschrieben
> hast. Jede [mm]\\p\times\\q[/mm] Matrix kann in eine obere
> Dreicksmatrix der Form [mm]\\p\times\\q[/mm] überführt werden.
>
> Da streng genommen deine erste Matrix eine [mm]\\1\times\\3[/mm]
> Matrix ist kann sie nicht in eine obere Dreickesmatrix der
> Form [mm]\\3\times\\3[/mm] überführt werden.
Die erste Matrix ist wie gesagt wohl eine [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix, und wenn man sie auf obere Dreiecksform bringt, dürfte da [mm] \pmat{4&2&3\\0&0&0\\0&0&0} [/mm] rauskommen, wenn ich die Zahlen richtig im Kopf habe.
> Da ich mir mit der Begründung nicht ganz sicher bin werde
> ich die Frage als halbbeantwortet setzen.
Ich bin mir da auch nicht ganz sicher, aber es wird da bestimmt einen Satz geben, der etwas über die Ränge der Matrizen aussagt. Wie du richtig festgestellt hast, hat die erste Matrix Rang 1, da alle Zeilen und Spalten voneinander abhängig sind, die zweite Matrix hat allerdings Rang 3. Und jetzt vermute ich einen Satz, der aussagt, dass man Matrizen unterschiedlicher Ränge nicht durch obige Umformungen ineinander überführen kann.
> Vielleicht wird jemand noch was ergänzen oder mich
> korriegieren.
Wie gesagt, ich bin mir auch nicht sicher, aber korrigieren schreibt sich nur einmal mit "ie", und zwar beim zweiten "i". 
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Di 23.09.2008 | | Autor: | Jaseb |
ok dann vielen dank euch beiden mal!
dann begründe ich dass mal mit den unterschiedlichen rängen und vielleicht find ich ja auch noch einen entsprechenden satz o.ä. (hoffentlich!)
gruß
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> Kann man die beiden Matrizen
>
> [mm]\pmat{ 4 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 3 }[/mm] und [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm]
> durch Zeilenumformungen vom Typ I, II, III und
> Spaltenvertauschungen ineinander überführen??? (Bitte mit
> Begründung!)
Hallo,
das ist so:
der Rang dieser Matrizen ist verschieden, und deshalb kann man sie nicht durch elementare Zeilenumformungen ineinander überführen, wie Ihr ja auch herausgefunden habt.
(Wenn man das könnte, wäre ja der ganze Gauß-Algorithmus für die Katz'!.)
Um eine Begründung zu liefern, muß man sich die Elementarmatrizen anschauen, mit welchen man multipliziert, um die Zeilenumformungen durchzuführen. Sie sind invertierbar, erhalten also den Rang.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Di 23.09.2008 | | Autor: | Jaseb |
also die Einheitsmatrix zu der ersten MAtrix ist (1) und zur zweiten Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] richtig?
Wenn ich die Matrizen jeweils mit ihrer Einheitsmatrix multipliziere erhalte ich sie wieder E x A = A.Unterschiedliche Ränge -> unterschiedliche Einheitsmatrizen -> nicht ineinander überführbar, nur bei einheitlichen Rängen/Einheitsmatrizen.. Stimmt das, oder hab ichs immernoch falsch verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Di 23.09.2008 | | Autor: | vivo |
hallo,
hier waren nicht Einheitsmatrizen sondern Elementarmatrizen gemeint. Es gibt im wesentlichen drei Stück
im [mm] IR^3 [/mm] z.B:
vertauschung von Zeilen
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
multiplikation einer Zeile mit c
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
addieren des c-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ c & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
diese Matrizen sind invertrierbar, der Rang einer Matrix bleibt also erhalten wenn diese Elementarmatrizen von links multipliziert werden.
alle Umformungen einer Matrix beim Gaussverfahren sind multiplikationen mit solchen Elementarmatrizen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 23.09.2008 | | Autor: | Jaseb |
achso ok danke..
nur weiß ich jetzt nicht was ich anhand dieser elementamatrizen bzgl der begründung ablesen kann/soll.
Brauche noch einen (oder zwei) tipps
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> achso ok danke..
>
> nur weiß ich jetzt nicht was ich anhand dieser
> elementamatrizen bzgl der begründung ablesen kann/soll.
> Brauche noch einen (oder zwei) tipps
Hallo,
nee, 'nen Tip brauchst Du eigentlich nicht mehr, weil schon alles dasteht.
Die Elementarmatrizen sind invertierbar, erhalten also bei Multiplikation den rang.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Di 23.09.2008 | | Autor: | Jaseb |
ok klar, vielen dank.. wie gesagt, bin ganz am anfang des studiums und seh glaub teilweise den wald vor lauter bäumen nicht
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> ok klar, vielen dank.. wie gesagt, bin ganz am anfang des
> studiums und seh glaub teilweise den wald vor lauter bäumen
> nicht
Hallo,
na, solange Du Dich noch dunkel dran erinnerst, daß ein Wald was mit Bäumen zu tun hat, geht's ja noch.
Gruß v. Angela
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