Matrizen mit Parameter < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Di 14.02.2012 | | Autor: | kuhfi |
| Aufgabe | e) Eine andere Insektenpopulation vermehre sich ebenfalls gemä´der Übergangsmatrix [mm]U_{a,b} = \pmat{ 0 & a & b \\
0,1 & 0 & 0 \\
0 & 0,4 & 0 } [/mm] , die Werte der Parameter a und b seien aber nicht bekannt.
Prüfen Sie, ob es Werte für a und b gibt, sodass sich eine Anfangspopulation aus 500 Eiern, 0 Insekten der Entwicklungsstufe 1 und 50 Insekten der Entwicklungsstufe 2 nach 3 Wochen zu einer Population von 600 Eiern, 30 Insekten der Entwicklungsstufe I1 und 24 Insekten der Entwicklungsstufe I2 entwickeln kann. Falls ja, bestimmen Sie a und b. |
Hallo Mathe-Raum,
Diese Aufgabe dürfte wahrscheinlich einigen von euch bekannt sein, da sie aus der Abi-Klausur von 2008 stammt.
Ich bereite mich grade auf die Vorklausur am Freitag vor, und stoße auf ein Problem, dass ich bei den anderen Abituraufgaben auch habe - wenn ich das nicht hätte, wären die eigentlich echt machbar, aber bei der letzten Aufgabe geht es immer darum, Matrizen mit Parameter zu potenzieren.
Nun stehen im Lösungsbuch (Wir haben das STARK-Heft für den Mathe-LK bekommen) keine Tipps zur Rechnung dieser Operation. Garkeine.
Die Grundrechnung ist mir eigentlich klar. Wenn ich mich jetzt nicht verdacht habe, müsste das ganze so aussehen:
[mm]U_{a,b}^3*\vektor{500 \\
0 \\
50} = \vektor{600\\
30\\
24}[/mm]
Dann nach a und b auflösen und damit ist die Sache gegessen.
Allerdings habe ich wirklich keine Ahnung, wie ich diese Potenzierung durchführen soll? Wenn ich das nicht vereinfachen kann, sitze ich ja ne halbe Stunde allein dadran, die Matrix für die Entwicklung nach 3 Wochen auszurechnen.
Im Lösungsbuch steht das auch nicht erklärt, da steht nur:
Es gilt:
[mm]U_{a,b}^3= \pmat{ 0,04b & 0,1a² & 0,1ab \\
0,01a & 0,04b & 0 \\
0 & 0,04a & 0,04b} [/mm]
Aber wie zur Hölle soll man dadrauf kommen? Muss man echt diese Multiplikation von Hand ausführen? Das dauert ja ewig, der CAS kann schließlich nicht mit Parametern (Zumindest nicht an dieser Stelle)...
Also, wenn mir da einer weiterhelfen könnte, das wäre echt klasse :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Di 14.02.2012 | | Autor: | Lonpos |
Schreibe dir die Matrizen nebeneinander auf und multipliziere sie einfach. Wenn dir die Multiplikationsregeln für Matrizen bekannt sind (wenn nicht, dann siehe hier http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28Mathematik%29#Matrizenmultiplikation) solltest du dafür händisch nicht mehr als 5 Minuten brauchen.
|
|
|
| |
|
Hallo kuhfi,
> e) Eine andere Insektenpopulation vermehre sich ebenfalls
> gemä´der Übergangsmatrix [mm]U_{a,b} = \pmat{ 0 & a & b \\
0,1 & 0 & 0 \\
0 & 0,4 & 0 }[/mm]
> , die Werte der Parameter a und b seien aber nicht
> bekannt.
> Prüfen Sie, ob es Werte für a und b gibt, sodass sich
> eine Anfangspopulation aus 500 Eiern, 0 Insekten der
> Entwicklungsstufe 1 und 50 Insekten der Entwicklungsstufe 2
> nach 3 Wochen zu einer Population von 600 Eiern, 30
> Insekten der Entwicklungsstufe I1 und 24 Insekten der
> Entwicklungsstufe I2 entwickeln kann. Falls ja, bestimmen
> Sie a und b.
>
> Hallo Mathe-Raum,
> Diese Aufgabe dürfte wahrscheinlich einigen von euch
> bekannt sein, da sie aus der Abi-Klausur von 2008 stammt.
> Ich bereite mich grade auf die Vorklausur am Freitag vor,
> und stoße auf ein Problem, dass ich bei den anderen
> Abituraufgaben auch habe - wenn ich das nicht hätte,
> wären die eigentlich echt machbar, aber bei der letzten
> Aufgabe geht es immer darum, Matrizen mit Parameter zu
> potenzieren.
> Nun stehen im Lösungsbuch (Wir haben das STARK-Heft für
> den Mathe-LK bekommen) keine Tipps zur Rechnung dieser
> Operation. Garkeine.
>
> Die Grundrechnung ist mir eigentlich klar. Wenn ich mich
> jetzt nicht verdacht habe, müsste das ganze so aussehen:
>
> [mm]U_{a,b}^3*\vektor{500 \\
0 \\
50} = \vektor{600\\
30\\
24}[/mm]
>
> Dann nach a und b auflösen und damit ist die Sache
> gegessen.
>
> Allerdings habe ich wirklich keine Ahnung, wie ich diese
> Potenzierung durchführen soll? Wenn ich das nicht
> vereinfachen kann, sitze ich ja ne halbe Stunde allein
> dadran, die Matrix für die Entwicklung nach 3 Wochen
> auszurechnen.
>
> Im Lösungsbuch steht das auch nicht erklärt, da steht
> nur:
>
> Es gilt:
> [mm]U_{a,b}^3= \pmat{ 0,04b & 0,1a² & 0,1ab \\
0,01a & 0,04b & 0 \\
0 & 0,04a & 0,04b}[/mm]
>
Schreibe den Exponenten "2" nicht mit der
alternativen Tastenbelegung der Taste "2". sondern so: a^{2}
Dann sieht die Matrix so aus:
[mm]U_{a,b}^3= \pmat{ 0,04b & 0,1a^{2} & 0,1ab \\
0,01a & 0,04b & 0 \\
0 & 0,04a & 0,04b}[/mm]
> Aber wie zur Hölle soll man dadrauf kommen? Muss man echt
> diese Multiplikation von Hand ausführen? Das dauert ja
> ewig, der CAS kann schließlich nicht mit Parametern
> (Zumindest nicht an dieser Stelle)...
>
Nun, ein CAS sollte mit Parametern umgehen können.
Ein Alternativweg ist die Population nach 1 Woche,
2 Wochen, 3 Wochen zu berechnen.
Ist die Anfangspopulation [mm]v_{0}[/mm] gegeben,
so berechnet sich die Population nach 1 Woche zu:
[mm]v_{1}=U_{a,b}*v_{0}[/mm]
Nach 2 Wochen:[mm]v_{2}=U_{a,b}*v_{1}[/mm]
Nach 3 Wochen:[mm]v_{3}=U_{a,b}*v_{2}[/mm]
> Also, wenn mir da einer weiterhelfen könnte, das wäre
> echt klasse :)
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Di 14.02.2012 | | Autor: | kuhfi |
Alles klar, danke euch... Habe wohl CAS mit WTR verwechselt und wir haben keinen CAS.... Sorry, peinlich^^
|
|
|
|
