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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mo 02.04.2018 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich habe folgende Frage:
Gegeben sei eine quadratische (stochastische) Übergangsmatrix A, in der die Wahrscheinlichkeiten für Zustandsübergänge dargestellt sind und deren Spaltensummen jeweils 1 ergeben.
Ist es immer so, dass die Matrix [mm] A^n [/mm] für n gegen unendlich gegen eine Grenzmatrix konvergiert, bei der die einzelnen Spalteneinträge alle identisch sind ?
Laut einem Schulbuch würde dann eine solche Spalte die stationäre Verteilung des Übergangsprozesses darstellen.
Ich habe es zwar mit mehreren Matrizen mit meinem Taschenrechner ausprobiert , indem ich z.B. A^20 ausgerechnet habe und es hat auch funktioniert.
Ich würde aber gerne wissen, ob dies immer so ist.
Danke für eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo,
> Hallo zusammen,
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> ich habe folgende Frage:
> Gegeben sei eine quadratische (stochastische)
> Übergangsmatrix A, in der die Wahrscheinlichkeiten für
> Zustandsübergänge dargestellt sind und deren
> Spaltensummen jeweils 1 ergeben.
>
> Ist es immer so, dass die Matrix [mm]A^n[/mm] für n gegen unendlich
> gegen eine Grenzmatrix konvergiert, bei der die einzelnen
> Spalteneinträge alle identisch sind ?
Das ist nicht der Fall. Es gibt dazu einen Satz, wonach eine solche Grenzmatrix genau dann existiert, wenn es irgendeinen Exponenten n gibt, so dass in der Potenz
[mm] A^n
[/mm]
sämtliche Einträge ungleich Null sind.
> Laut einem Schulbuch würde dann eine solche Spalte die
> stationäre Verteilung des Übergangsprozesses darstellen.
Das ist korrekt.
Gruß, Diophant
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Hallo rubi
> ich habe folgende Frage:
> Gegeben sei eine quadratische (stochastische)
> Übergangsmatrix A, in der die Wahrscheinlichkeiten für
> Zustandsübergänge dargestellt sind und deren
> Spaltensummen jeweils 1 ergeben.
>
> Ist es immer so, dass die Matrix [mm]A^n[/mm] für n gegen unendlich
> gegen eine Grenzmatrix konvergiert, bei der die einzelnen
> Spalteneinträge alle identisch sind ?
Nein, das ist nicht so. Man kann dies leicht an einem
ganz einfachen Gegenbeispiel sehen. Die Übergangsmatrix
$\ A\ =\ [mm] \pmat{0 & 1\\1& 0}$
[/mm]
beschreibt ein System, das ständig zwischen zwei Zuständen
hin- und herpendelt. Die Potenzen [mm]A^n[/mm] dieser Matrix sind
$\ [mm] A^n\ [/mm] =\ A\ =\ [mm] \pmat{0&1\\1&0}$ [/mm] (falls n ungerade)
$\ [mm] A^n\ [/mm] =\ E\ = \ [mm] \pmat{1&0\\0&1}$ [/mm] (falls n gerade)
Die 2-periodische Folge dieser Matrizen [mm]A^n[/mm] hat offensichtlich
keine "Grenzmatrix" für $\ [mm] n\,\to\, \infty$ [/mm] .
LG , Al-Chw.
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