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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Sa 30.07.2005 | | Autor: | d.liang |
Hi,
ich bräuchte bei dieser Aufgabe hilfe:
Man berechne die Matrizen X und Y, die das folgende Gleichungssytem erfüllen:
2AX +BY = C
3AX - 2Y = B
mit
A= [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 2 }
[/mm]
B= [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }
[/mm]
C= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 0 }
[/mm]
Das eigentlich ausrechnen später ist ja nicht schwer. Nur wie stelle ich diese beiden Gleichungen entsprechend nach X und Y um ?
Ich weiß auch nicht wie man bei dieser Art der Gleichungssyteme teilt, wenn man z.B. sowas hat:
AX = C
dann kann man ja schlecht sowas machen
X = C/A
oder ?
Danke schonmal !
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Hallo d.liang,
> Man berechne die Matrizen X und Y, die das folgende
> Gleichungssytem erfüllen:
>
> 2AX +BY = C
>
> 3AX - 2Y = B
>
> mit
>
> A= [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 2 }[/mm]
>
> B= [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]
>
> C= [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 0 }[/mm]
>
>
>
> Das eigentlich ausrechnen später ist ja nicht schwer. Nur
> wie stelle ich diese beiden Gleichungen entsprechend nach X
> und Y um ?
Ich würde sagen, wir rechnen die beiden Gleichungssysteme erstmal aus:
[m]\begin{gathered}
2AX + BY = C \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c}
4 & 2 \\
6 & 4 \\
\end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{11} } & {x_{12} } \\
{x_{21} } & {x_{22} } \\
\end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 1} & 1 \\
0 & { - 1} \\
\end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
{y_{11} } & {y_{12} } \\
{y_{21} } & {y_{22} } \\
\end{array} } \right) = C \hfill \\
\Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c}
{4x_{11} + 2x_{21} } & {4x_{12} + 2x_{22} } \\
{6x_{11} + 4x_{21} } & {6x_{12} + 4x_{22} } \\
\end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - y_{11} + y_{21} } & { - y_{12} + y_{22} } \\
{ - y_{21} } & { - y_{22} } \\
\end{array} } \right) = C \hfill \\
\Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c}
{4x_{11} + 2x_{21} - y_{11} + y_{21} } & {4x_{12} + 2x_{22} - y_{12} + y_{22} } \\
{6x_{11} + 4x_{21} - y_{21} } & {6x_{12} + 4x_{22} - y_{22} } \\
\end{array} } \right) = C \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Dasselbe mußt Du auch mit dem anderen Gleichungssystem machen.
Das erste Gleichungssystem liefert dir nun 4 Gleichungen mit 8 Unbekannten. Das zweite Gleichungssystem liefert dir weitere 4 Gleichungen mit denselben 8 Unbekannten. Damit erhälst du ein Gleichungssystem mit 8 Gleichungen und 8 Unbekannten, welches Du z.B. mit dem  Gauß-Algorithmus lösen kannst.
> Ich weiß auch nicht wie man bei dieser Art der
> Gleichungssyteme teilt, wenn man z.B. sowas hat:
>
> AX = C
>
> dann kann man ja schlecht sowas machen
>
> X = C/A
>
> oder ?
Richtig, das funktioniert so nicht. Wenn dir A und C bekannt sind, und die sogenannte Inverse von A (man schreibt [mm] $A^{-1}$) [/mm] die gleiche Anzahl an Zeilen hat wie es Spalten in C gibt (Multiplikationskriterium), kannst Du stattdessen $X = [mm] A^{-1}C$
[/mm]
berechnen und das System wäre eindeutig lösbar, sonst ist es nicht eindeutig lösbar. Sieh dir doch mal ![[]](/images/popup.gif) folgende Beschreibung zu Matrizen an.
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 So 31.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo ihr beiden,
Also A und B sind doch offensichtlich invertierbar.
Wieso löst man dann also nicht die erste Gleichung nach X auf und setzt diese in die zweite Gleichung ein?
dann weiter nach Y auflösen und in in die nach X aufgelöste Gleichung eingesetzt ergibt die Lösung.
hier der Anfang : aus der ersten Gleichung folgt:
(1) [mm] $X=\bruch{1}{2}*A^{-1}*(C-BY)$
[/mm]
eingesetzt in die zweite ergibt sich:
[mm] $\bruch{3}{2}*C-\bruch{3}{2}BY-2Y=B$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{3}{2}*C-(\bruch{3}{2}B-2*E)*Y=B$ [/mm]
(E ist Einheitsmatrix)
die Matrix vor dem Y ist dann auch invertierbar (sieht man leicht), also:
[mm] $Y=\left( \bruch{3}{2}B-2*E \right) ^{-1}(B-\bruch{3}{2}*C)$
[/mm]
dies dann mal tatsächlich ausrechnen und in (1) einsetzen, dann hat man doch die Lösung, oder übersehe ich etwas zu so später Stunde?
nächtliche Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:44 So 31.07.2005 | | Autor: | d.liang |
Danke, DaMenge auf diese Weise konnte ich die Aufgabe lösen.
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