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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizenbestimmung
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Matrizenbestimmung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Di 09.12.2008
Autor: Analysisgott

Aufgabe
Sei A eine (n×n)-Matrix, deren Einträge alles ganze Zahlen sind.
Zeigen Sie: Es gibt genau dann eine (n×n)-Matrix B, deren
Einträge ebenfalls nur ganze Zahlen sind mit A · B = [mm] E_{3}, [/mm] wenn
gilt detA ∈ {1,−1}.

Mir ist eigentlich nur klar, dass der Eintrag [mm] a_{11} [/mm] der Matrix A gleich 1 sein muss, da sich dieser Wert nicht mehr ändert und das die Matrix A eine 3x3 matrix sein muss, da die Einheitsmatrix eine ist.
Wie soll ich nun die anderen Einträge von a ermitteln, so dass sie immer ganzzahlig sind, um die Matrix B zu bestimmen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Matrizenbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Mi 10.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Sei A eine (n×n)-Matrix, deren Einträge alles ganze Zahlen
> sind.
>  Zeigen Sie: Es gibt genau dann eine (n×n)-Matrix B, deren
>  Einträge ebenfalls nur ganze Zahlen sind mit A · B =
> [mm]E_{3},[/mm] wenn
>  gilt detA ∈ {1,−1}.
>  Mir ist eigentlich nur klar, dass der Eintrag [mm]a_{11}[/mm] der
> Matrix A gleich 1 sein muss, da sich dieser Wert nicht mehr
> ändert und das die Matrix A eine 3x3 matrix sein muss, da
> die Einheitsmatrix eine ist.
>  Wie soll ich nun die anderen Einträge von a ermitteln, so
> dass sie immer ganzzahlig sind, um die Matrix B zu
> bestimmen?

Hallo,

zunächst mal ist festzustellen, daß hier zwei Richtungen zu beweisen sind.

1. es gibt eine ganzzahlige Matrix  B mit AB=E    ==> det [mm] A\in\{1,-1} [/mm]

Dies zu beweisen ist nicht schwer. Du weißt etwas über die determinante von Produkten, Du weißt daß A und B und somit auch ihre determinanten ganzzahlig sind.


2. det A [mm] \in\{1,-1} [/mm]  ==>  es gibt eine ganzzahlige Matrix  B mit AB=E

Damit weiß man schonmal, daß A invertierbar ist. Nun mußt Du Dich erinnern oder nachschlagen, wie Du die Inverse einer Matrix mithilfe von Determinante und ??? aus der Matrix erhältst.

Gruß v. Angela



Bezug
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