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| Aufgabe | a) [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 }
[/mm]
Berechne [mm] A^3-3A+2E_3!
[/mm]
Verwende das Ergebnis zur Berechnung von [mm] A^{-1}!
[/mm]
b) [mm] A=\pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 }
[/mm]
Löse nach X auf und bestimme X: [mm] A^T*X*A^{-1}=A^T-X*A^{-1} [/mm] |
zu a)
Kann ich hier alles einzeln berechnen und dann lösen?
also z.B. so:
[mm] A^3=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 }\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 }\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 3 & -8 & 0 \\ 6 & -3 & 1 }
[/mm]
[mm] 3A=\pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 3 & -6 & 0 \\ 6 & -3 & 3}
[/mm]
[mm] 2E_3=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Und dann zusammenrechnen, aber da krieg ich immer ne Nullmatrix raus, also alle Elemente Null. Das kann doch nicht stimmen, denn davon kann ich ja keine inverse Matrix bilden!
Könnt ihr mir sagen wo der fehler liegt?
zu b)
Könnt ihr mir erklären wie ich hier vorgehen muss?
Das wäre sehr nett!!
MfG
mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mo 02.01.2012 | | Autor: | hippias |
> a) [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 }[/mm]
>
> Berechne [mm]A^3-3A+2E_3![/mm]
> Verwende das Ergebnis zur Berechnung von [mm]A^{-1}![/mm]
>
>
> b) [mm]A=\pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Löse nach X auf und bestimme X: [mm]A^T*X*A^{-1}=A^T-X*A^{-1}[/mm]
> zu a)
>
> Kann ich hier alles einzeln berechnen und dann lösen?
> also z.B. so:
>
>
> [mm]A^3=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 }\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 }\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 }[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 3 & -8 & 0 \\ 6 & -3 & 1 }[/mm]
>
> [mm]3A=\pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 3 & -6 & 0 \\ 6 & -3 & 3}[/mm]
>
> [mm]2E_3=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Und dann zusammenrechnen, aber da krieg ich immer ne
> Nullmatrix raus, also alle Elemente Null. Das kann doch
> nicht stimmen, denn davon kann ich ja keine inverse Matrix
> bilden!
Ohne die Rechnung ueberprueft zu haben, ist es das erwartete Resultat. Bedenke, dass Du die Inverse von $A$, nicht von [mm] $A^3-3A+2E_3$ [/mm] bilden sollst. Der Tip ist so gemeint, dass Du die Gleichung [mm] $A^3-3A+2E_3= [/mm] 0$ so "umstellst", dass auf der einen Seite [mm] $E_{3}$ [/mm] und auf der anderen Seite ein Produkt von $A$ nicht einer anderen Matrix steht, die dann [mm] $=A^{-1}$ [/mm] sein muss..
>
> Könnt ihr mir sagen wo der fehler liegt?
Es heisst "Fehler" - hehe.
>
>
> zu b)
> Könnt ihr mir erklären wie ich hier vorgehen muss?
> Das wäre sehr nett!!
>
Versuche die Gleichung nach $X$ umzustellen genau so, als ob es gewoehnliche Zahlen waeren. Jedoch musst Du bedenken, dass Kommutativitaet nicht gegeben ist, und dass nicht jede Matrix invertierbar ist. Wenn alle Matrizen invertierbar sind, dann wird es einfach,sonst eventuell etwas aufwendiger.
>
> MfG
> mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mo 02.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Berechnungen sind korrekt. Aus [mm] A^3-3A+2E=0 [/mm] folgt [mm] A^{-1}=\bruch{1}{2}\left(3-A^2\right)
[/mm]
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Kannst du mir vielleicht nochmal erklären wie du auf das [mm] A^{-1} [/mm] kommst? vor allem wo das "hoch 3" geblieben ist. Das habe ich nicht ganz nachvollzeihen können.
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Mo 02.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] A^3-3A+2E=A\left(A^2-3E+2A^{-1}\right)=0 [/mm] also [mm] A^2-3E+2A^{-1}=0 [/mm] also [mm] A^{-1}=\bruch{1}{2}\left(3E-A^2\right)
[/mm]
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Hi!
Du hättest auch das Charakteristische Polynom ausrechnen können um dann mit Hilfe des Satzes von "Cayley-Hamilton" (Wenn man die Matrix in ihr Charakteristisches Polynom einsetzt ergibt sich die Nullmatrix) zu zeigen dass die Nullmatrix herauskommen muss.
Valerie
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Do 05.01.2012 | | Autor: | heinze |
Löse die Matrizengleichung nach X auf und bestimme anschließend:
[mm] X:A^TXY^{-1}=A^T-XA^{-1}
[/mm]
Ich weiß das Kommutativität nicht gilt und ich weiß dass ich beide SEiten multiplizieren muss. Nur wie? Bei dieser Aufgabe kriege ich das nicht hin.
LG heinze
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Hallo,
das sieht nicht so ganz einfach aus, aber man könnte versuchen, die Gleichung zu transponieren. Das primäre Ziel dabei ist, dass X in den Produkten, in denen es vorkommt, entweder ganz links oder ganz rechts steht insbesondere in beiden Produkten auf der gleichen Seite. Dann könnte man durch faktorisieren schnell zum Ziel kommen.
Ist eigentlich über A irgendetwas weiteres gesagt (außer der trivialen Annahme, dass die Matrizen quadratisch sein müssen)?
Gruß, Diophant
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Nein, über A ist weiter nichts ausgesagt wenn ich mich recht erinnere.
Könnt ihr mir vorrechnen wie ich die Gleichung nach X umstelle? Ich habe mir weitere Beispiele für Matrizengleichungen angeschaut aber hier scheitere ich.
MfG
Mathegirl
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Hi,
die Gleichung [mm]A^TXA^{-1}=A^T-XA^{-1}[/mm] kann man unter der Voraussetzung, dass [mm]A[/mm] und [mm]A^T+E[/mm] invertierbar sind, nach [mm]X[/mm] auflösen. Dann gilt nämlich:
[mm]A^TXA^{-1}=A^T-XA^{-1}\ \gdw\ (A^TX+X)A^{-1}=A^T\ \gdw\ (A^T+E)X=A^TA\ \gdw\ X=(A^T+E)^{-1}A^TA.[/mm]
Bei der gegebenen Aufgabe sind beide Voraussetzungen erfüllt.
Beste Grüße
Spunk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 Sa 07.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
ursprünglich stand da aber
[mm] A^TXY^{-1}=A^T-XA^{-1}
[/mm]
War das ein Fehler in der Aufgabenstellung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Sa 07.01.2012 | | Autor: | heinze |
Nein, in der Aufgabenstellung steht es so wie Der Spunk es geschrieben hat.
Das mit den Matrizengleichungen muss ich mir nochmal ausführlich anschauen, das ist mir noch etwas fremd. Aber ich habe es mit der Erklärung verstanden. jetzt muss ich bloß noch einsetzen bzw die Matrizen aufstellen und rechnen.
LG heinze
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