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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Fr 13.01.2012 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in K^{k,l} [/mm] und B [mm] \in K^{k,m}. [/mm] Wann ist die Matrixgleichung
AX = B
für beliebiges B eindeutig lösbar (k, l, m sind beliebige aber feste natürliche Zahlen)?
Wann gibt es also für jede Matrix B [mm] \in K^{k,m} [/mm] genau eine Matrix X [mm] \in K^{l,m}, [/mm] welche die Gleichung löst? |
Mal wieder ne Frage von mir....
Hab mir zu der Aufgabe mal ne Überlegung gemacht.
Im Fall k=l= m gibt es ja eine inverse Matrix zu A, also [mm] A^{-1}. [/mm] Aber nur wenn A quadratisch ist, also k=l.
Wenn es die inverse Matrix gibt, dann kann man diese ja von links heranmultiplizieren:
[mm] A^{-1} [/mm] * A * X = [mm] A^{-1} [/mm] * B [mm] \gdw [/mm] ( [mm] A^{-1} [/mm] * A) * X = [mm] A^{-1} [/mm] * B [mm] \gdw [/mm] E * X = [mm] A^{-1} [/mm] * B [mm] \gdw [/mm] X = [mm] A^{-1} [/mm] * B.
Und da k=l=m gilt, ist dann auch die Matrixmultiplikation von X mit B möglich, da X [mm] \in K^{k,k} [/mm] und B [mm] \in [/mm] K{k,k}.
Sind meine Überlegungen für die Aufgabe richtig oder bin ich an der Aufgabe vorbei ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei A [mm]\in K^{k,l}[/mm] und B [mm]\in K^{k,m}.[/mm] Wann ist die
> Matrixgleichung
> AX = B
> für beliebiges B eindeutig lösbar (k, l, m sind
> beliebige aber feste natürliche Zahlen)?
> Wann gibt es also für jede Matrix B [mm]\in K^{k,m}[/mm] genau eine
> Matrix X [mm]\in K^{l,m},[/mm] welche die Gleichung löst?
>
> Mal wieder ne Frage von mir....
>
> Hab mir zu der Aufgabe mal ne Überlegung gemacht.
>
> Im Fall k=l= m gibt es ja eine inverse Matrix zu A, also
> [mm]A^{-1}.[/mm] Aber nur wenn A quadratisch ist, also k=l.
Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar !!
> Wenn es die inverse Matrix gibt, dann kann man diese ja
> von links heranmultiplizieren:
>
> [mm]A^{-1}[/mm] * A * X = [mm]A^{-1}[/mm] * B [mm]\gdw[/mm] ( [mm]A^{-1}[/mm] * A) * X = [mm]A^{-1}[/mm]
> * B [mm]\gdw[/mm] E * X = [mm]A^{-1}[/mm] * B [mm]\gdw[/mm] X = [mm]A^{-1}[/mm] * B.
>
Das stimmt, falls k=l=m ist und A invertierbar ist.
> Und da k=l=m gilt, ist dann auch die Matrixmultiplikation
> von X mit B möglich,
Wozu ?
FRED
> da X [mm]\in K^{k,k}[/mm] und B [mm]\in[/mm] K{k,k}.
>
> Sind meine Überlegungen für die Aufgabe richtig oder bin
> ich an der Aufgabe vorbei ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Fr 13.01.2012 | | Autor: | s1mn |
Sorry war ein Tippfehler.
Meinte eigentlich die Multiplikation von [mm] A^{-1} [/mm] und B ist dann möglich.
Also X = [mm] A^{-1} [/mm] * B.
Ok also passt mein Ansatz zur Aufgabe in etwa oder eher nicht ?
Es muss A eben invertierbar sein, k=l=m und dann ist die Gleichung für beliebiges B eindeutig lösbar ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sorry war ein Tippfehler.
> Meinte eigentlich die Multiplikation von [mm]A^{-1}[/mm] und B ist
> dann möglich.
>
> Also X = [mm]A^{-1}[/mm] * B.
>
> Ok also passt mein Ansatz zur Aufgabe in etwa oder eher
> nicht ?
Doch passt.
> Es muss A eben invertierbar sein, k=l=m und dann ist die
> Gleichung für beliebiges B eindeutig lösbar ?!
Ja
FRED
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