Matrizengleichung AX + B = X < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Di 15.01.2013 | | Autor: | Clark |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrizengleichung AX + B = X
mit A = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 3a & 1 & 2 } [/mm] und B = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -2 & 1 \\ 4 & -1 }
[/mm]
Für welches a ist die Matrizengleichung lösbar?
Wie lautet die Lösung für a=0? |
Bei der Addition von Matrizen ist ja definiert, das beide Matrizen die gleiche Anzahl an Zeilen und die gleiche Anzahl an Spalten aufweisen muss. Da dies nicht gegeben ist, suche ich nun nach dem Schema zur Lösung.
Frage: Wie löse ich also nun solch einen Aufgabentyp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Clark und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben ist die Matrizengleichung AX + B = X
>
> mit A = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
1 & a & 0 \\
3a & 1 & 2 }[/mm] und B
> = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\
-2 & 1 \\
4 & -1 }[/mm]
>
>
>
> Für welches a ist die Matrizengleichung lösbar?
> Wie lautet die Lösung für a=0?
> Bei der Addition von Matrizen ist ja definiert, das beide
> Matrizen die gleiche Anzahl an Zeilen und die gleiche
> Anzahl an Spalten aufweisen muss. Da dies nicht gegeben
> ist, suche ich nun nach dem Schema zur Lösung.
>
> Frage: Wie löse ich also nun solch einen Aufgabentyp?
Na, stelle mal soweit nach $X$ um wie möglich:
$AX-X=-B$
Das geht problemlos mit Matrizenaddition, nun Distributiv ausklammern:
[mm] $\gdw (A-E_3)X=-B$, [/mm] wobei [mm] $E_3$ [/mm] die [mm] $3\times [/mm] 3$-Einheitsmatrix ist.
Nun müsstest du die Gleichung von links mit [mm] $(A-E_3)^{-1}$ [/mm] multiplizieren, um nach $X$ aufzulösen.
Prüfe mal, für welche $a$ denn [mm] $A-E_3$ [/mm] invertierbar ist.
Das ist der Knackpunkt bei den Umformungen, da nicht jede Matrix invertierbar ist ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Di 15.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nun müsstest du die Gleichung von links mit [mm](A-E_3)^{-1}[/mm]
> multiplizieren, um nach [mm]X[/mm] aufzulösen.
>
> Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.
>
> Das ist der Knackpunkt bei den Umformungen, da nicht jede
> Matrix invertierbar ist ...
Das ist allerdings nur eine hinreichende, aber i.A. keine notwendige Bedingung zur Loesbarkeit 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Di 15.01.2013 | | Autor: | Clark |
Danke schonmal für eure Antworten!
> Nun müsstest du die Gleichung von links mit [mm](A-E_3)^{-1}[/mm]
> multiplizieren, um nach [mm]X[/mm] aufzulösen.
Wie genau macht man das?
> Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.
Also [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 3a & 1 & 2 } $\vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] und dann z.B. a=2 und dann umformen bis die 0 an den entsprechenden Stellen steht?
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Hallo nochmal,
> Danke schonmal für eure Antworten!
>
> > Nun müsstest du die Gleichung von links mit [mm](A-E_3)^{-1}[/mm]
> > multiplizieren, um nach [mm]X[/mm] aufzulösen.
>
> Wie genau macht man das?
>
> > Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.
>
> Also [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
1 & a & 0 \\
3a & 1 & 2 } $\vmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1}[/mm]
> und dann z.B. a=2 und dann umformen bis die 0 an den
> entsprechenden Stellen steht?
Nein, eine Matrix ist invertierbar genau dann, wenn ihre Determinante [mm] \neq [/mm] 0$ ist.
Berechne also in Abh. von [mm]a[/mm] die Determinante von [mm]A-E_3=\pmat{1&0&0\\
1&a-1&0\\
3a&1&1}[/mm].
Aber beachte Felix' Hinweis:
Das mit dem Inversen dient "nur" dazu, explizit nach X aufzulösen.
Es kann andere Lösungen geben ...
Wenn du die obige Determinante mal berechnest, so gibt es genau ein a, für das [mm] $A-E_3$ [/mm] nicht invertierbar ist.
Für alle anderen a ist sie invertierbar und du kannst die Matrixgleichung explizit nach X auflösen.
Für das "böse" a, rechne es geradeheraus aus, setze es ein und schaue, ob die Matrixgleichung lösbar ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Di 15.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachu,
> Hallo nochmal,
>
>
> > Danke schonmal für eure Antworten!
> >
> > > Nun müsstest du die Gleichung von links mit [mm](A-E_3)^{-1}[/mm]
> > > multiplizieren, um nach [mm]X[/mm] aufzulösen.
> >
> > Wie genau macht man das?
> >
> > > Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.
> >
> > Also [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
1 & a & 0 \\
3a & 1 & 2 } $\vmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1}[/mm]
> > und dann z.B. a=2 und dann umformen bis die 0 an den
> > entsprechenden Stellen steht?
>
> Nein, eine Matrix ist invertierbar genau dann, wenn ihre
> Determinante [mm]\neq[/mm] 0$ ist.
>
> Berechne also in Abh. von [mm]a[/mm] die Determinante von
> [mm]A-E_3=\pmat{1&0&0\\
1&a-1&0\\
3a&1&1}[/mm].
>
> Aber beachte Felix' Hinweis:
>
> Das mit dem Inversen dient "nur" dazu, explizit nach X
> aufzulösen.
>
> Es kann andere Lösungen geben ...
>
> Wenn du die obige Determinante mal berechnest, so gibt es
> genau ein a, für das [mm]A-E_3[/mm] nicht invertierbar ist.
nicht schlecht, das zu wissen: Jetzt kann ich durch einfaches Hingucken
sogar schon sagen, welches das ist (man findet dann ja anscheinend nur
genau ein [mm] $a\,,$ [/mm] für das die zweite und dritte Spalte linear abhängig sind).
Nebenbei: Läßt sich die Determinante einer (oberen oder unteren)
Dreiecksmatrix nicht relativ schnell berechnen?
Gruß,
Marcel
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Aye Marcel,
> > > > Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.
> > >
> > > Also [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
1 & a & 0 \\
3a & 1 & 2 } $\vmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1}[/mm]
> > > und dann z.B. a=2 und dann umformen bis die 0 an den
> > > entsprechenden Stellen steht?
> >
> > Nein, eine Matrix ist invertierbar genau dann, wenn ihre
> > Determinante [mm]\neq[/mm] 0$ ist.
> >
> > Berechne also in Abh. von [mm]a[/mm] die Determinante von
> > [mm]A-E_3=\pmat{1&0&0\\
1&a-1&0\\
3a&1&1}[/mm].
> >
> > Aber beachte Felix' Hinweis:
> >
> > Das mit dem Inversen dient "nur" dazu, explizit nach X
> > aufzulösen.
> >
> > Es kann andere Lösungen geben ...
> >
> > Wenn du die obige Determinante mal berechnest, so gibt es
> > genau ein a, für das [mm]A-E_3[/mm] nicht invertierbar ist.
>
> nicht schlecht, das zu wissen: Jetzt kann ich durch
> einfaches Hingucken
Mit dem Adlerblick quasi ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
> sogar schon sagen, welches das ist (man findet dann ja
> anscheinend nur
> genau ein [mm]a\,,[/mm] für das die zweite und dritte Spalte
> linear abhängig sind).
>
> Nebenbei: Läßt sich die Determinante einer (oberen oder
> unteren)
> Dreiecksmatrix nicht relativ schnell berechnen?
Wenn man weiß wie, dann ja 
>
> Gruß,
> Marcel
Zurück
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Di 15.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aye Marcel,
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>
>
> > > > > Prüfe mal, für welche [mm]a[/mm] denn [mm]A-E_3[/mm] invertierbar ist.
> > > >
> > > > Also [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
1 & a & 0 \\
3a & 1 & 2 } $\vmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1}[/mm]
> > > > und dann z.B. a=2 und dann umformen bis die 0 an den
> > > > entsprechenden Stellen steht?
> > >
> > > Nein, eine Matrix ist invertierbar genau dann, wenn ihre
> > > Determinante [mm]\neq[/mm] 0$ ist.
> > >
> > > Berechne also in Abh. von [mm]a[/mm] die Determinante von
> > > [mm]A-E_3=\pmat{1&0&0\\
1&a-1&0\\
3a&1&1}[/mm].
> > >
> > > Aber beachte Felix' Hinweis:
> > >
> > > Das mit dem Inversen dient "nur" dazu, explizit nach X
> > > aufzulösen.
> > >
> > > Es kann andere Lösungen geben ...
> > >
> > > Wenn du die obige Determinante mal berechnest, so gibt es
> > > genau ein a, für das [mm]A-E_3[/mm] nicht invertierbar ist.
> >
> > nicht schlecht, das zu wissen: Jetzt kann ich durch
> > einfaches Hingucken
>
> Mit dem Adlerblick quasi
that's it! ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> > sogar schon sagen, welches das ist (man findet dann ja
> > anscheinend nur
> > genau ein [mm]a\,,[/mm] für das die zweite und dritte Spalte
> > linear abhängig sind).
> >
> > Nebenbei: Läßt sich die Determinante einer (oberen oder
> > unteren)
> > Dreiecksmatrix nicht relativ schnell berechnen?
>
> Wenn man weiß wie, dann ja
Man kann sich das bei [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen auch innerhalb von Sekunden
überlegen (schlimmstenfalls nehme man den Telefonjoker, um ![[]](/images/popup.gif) den
ehrenwerten Herrn Sarrus anzurufen...).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Di 15.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist die Matrizengleichung AX + B = X
>
> mit A = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 3a & 1 & 2 }[/mm] und B
> = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ -2 & 1 \\ 4 & -1 }[/mm]
>
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> Für welches a ist die Matrizengleichung lösbar?
> Wie lautet die Lösung für a=0?
> Bei der Addition von Matrizen ist ja definiert, das beide
> Matrizen die gleiche Anzahl an Zeilen und die gleiche
> Anzahl an Spalten aufweisen muss. Da dies nicht gegeben
> ist, suche ich nun nach dem Schema zur Lösung.
doch, das ist indirekt gegeben: Wegen $A [mm] \in \IR^{3 \times 3}$ [/mm] und $B [mm] \in \IR^{3 \times 2}$ [/mm] folgt dann direkt,
dass $X [mm] \in \IR^{3 \times 2}$ [/mm] sein muss (weil eine $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix mit einer $3 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix multipliziert
halt - wie gewünscht - eine $3 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix ergibt), damit diese
Gleichung eine Lösung in der MATRIX [mm] $X\,$ [/mm] hat.
Nebenbei:
Das kann man sogar direkt auch daran erkennen, dass [mm] $B\,$ [/mm] als Summand
alleine auf der linken Seite und [mm] $X\,$ [/mm] alleine auf der rechten Seite auftauchen,
d.h. [mm] $X\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] müssen "die gleiche Dimensionen" haben.
Gruß,
Marcel
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