Matrizengleichung umstellen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Fr 19.11.2010 | | Autor: | hrast85 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie anahand der Messungen die Koordinaten des Messystems bezüglich des Robotersystems. |
Einen schönen guten Abend. Da dies mein erster Post ist möchte ich zuerst mal angenehm in die Runde hier winken.
Die Problemamtik der Aufgabe ist mir soweit bewusst. Ich will hier auschließlich auf die mathematische Ebene eingehen. Das Problem lässt sich mathematisch auf zwei Matrizengleichungen runterbrechen.
C,D,E,F,X,Y seien Matrizen deren Inverse existiert
$X=C*Y*D$ (1)
$X=E*Y*F$ (2)
X,Y seien unbekannt, X ist gesucht. C,D,E,F seien bekannt, aber lediglich in der Form von Variablen, da hier später einmal die Messwerte(Koordinaten) eingetragen werden.
Mein Problem ist diese beiden Gleichungen sinnvoll ineinander zu überführen.
Mein Ansatz:
aus (2): $Y= [mm] E^{-1} [/mm] *X * [mm] F^{-1}$ [/mm] (3)
(3) in (1) [mm] $X=C*E^{-1} [/mm] *X * [mm] F^{-1}*D$ [/mm] (4)
wenn ich $ [mm] A=C*E^{-1}$ [/mm] und [mm] $B=F^{-1}*D$ [/mm] substituiere, erhalte ich folgendes Problem:
$X=A*X*B$ (5)
Und hier komme ich nicht mehr weiter, denn weder links- noch rechts-Multiplikation führt mich zu dem gewünschten Ausdruck:
$X=f(A,B)$
Folgende Ansätze würde ich hier gern erfragen:
1. gibt es evtl eine bessere Überführung der 2 Gleichungen (1) und (2), sodass ich $X=f(A,B)$ bzw $X=f(C,D,E,F)$ erhalte?
2. welchen Ansatz muss ich verfolgen um aus (5) $X=f(A,B)$ zu gewinnen
3. das Aufstellen der einzelnen Gleichungen, welche die Matrizengleichung representiert würde ich gern vermeiden. Die 4x4 Matrizen würden sonst sehr unhandhabbare 16 Gleichungen ergeben mit einer Vielzahl an Variablen
4. falls eine analytische Lösung auf Matrrixebene nicht greifbar ist, welche numerische Lösungsansätze würden vielleicht zum Ziel führen? Ein paar Stichworte wären schon hilfreich.
Die Aufgabe rührt von einem Doktoranden, der das Problem, dass ihm 2 Koodinatenzuordnungen fehlen mit mehreren Messungen lösen möchte. Auf mögliche Nichtlösbarkeit(zB aufgrund nicht unabhängiger Messungen) will ich hier in dieser Frage nicht eingehen und nehme den Fall der Lösbarkeit erst einmal an.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Mit freundlichen Grüßen
Frank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Frank,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie anahand der Messungen die Koordinaten des
> Messystems bezüglich des Robotersystems.
> Einen schönen guten Abend. Da dies mein erster Post ist
> möchte ich zuerst mal angenehm in die Runde hier winken.
>
> Die Problemamtik der Aufgabe ist mir soweit bewusst. Ich
> will hier auschließlich auf die mathematische Ebene
> eingehen. Das Problem lässt sich mathematisch auf zwei
> Matrizengleichungen runterbrechen.
>
> C,D,E,F,X,Y seien Matrizen deren Inverse existiert
>
>
> [mm]X=C*Y*D[/mm] (1)
> [mm]X=E*Y*F[/mm] (2)
>
>
> X,Y seien unbekannt, X ist gesucht. C,D,E,F seien bekannt,
> aber lediglich in der Form von Variablen, da hier später
> einmal die Messwerte(Koordinaten) eingetragen werden.
Wenn die Matrizen invertierbar sind (das hast du ja oben vorausgesetzt), dann kannst du doch einfach die beiden Gleichungen gleichsetzen, nach Y auflösen und den so erhaltenen Ausdruck für X in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Dann solltest du das X nur in Abhängigkeit von C,D,E,F dargestellt haben.
Das war natürlich Quatsch bzw. führt genausowenig zum Ziel wie dein Versuch. Im Augenblick habe ich keine Idee, außer die einzelnen Gleichungen zu betrachten...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:16 Fr 19.11.2010 | | Autor: | hrast85 |
Ok, ich scheine hier noch ein großes Defizit zu haben.
(1)=(2) ergibt
$C*Y*D=E*Y*F$ (6)
und wieder habe ich diesen Ausdruck, dass Y in der Mitte dort eingeschlossen ist. Wie kann man Y befreien?
[mm] $Y*D*F^{-1}=C^{-1}*E*Y$ [/mm] (7)
wieder fehlt mir der Schritt damit ich $Y=f(D,F,C,E)$ erhalte.
Welchen Ansatz/Trick kann ich hier weiter verfolgen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Frank,
> Ok, ich scheine hier noch ein großes Defizit zu haben.
wie oben gesagt, war das, was ich geschrieben hatte, Quatsch.
Hoffentlich hat jemand anderes eine Idee.
Im worst case musst du eben ein Gleichungssystem mit 16 Gleichungen und 16 Variablen aufstellen, dazu würde ich dann ein CAS zu Hilfe nehmen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 28.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Diese Matrixgleichung
$ [mm] X=A\cdot{}X\cdot{}B [/mm] $
ist im allgemeinen nicht eindeutig lösbar. Ist z.B. AB=E = Einheitsmatrix, so ist für jedes t [mm] \ne [/mm] 0 die Matrix [mm] $X_t=t*E$ [/mm] eine Lösung
FRED
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