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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Do 24.04.2008 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | Berechne: f(x) = [mm] x^{t}Ax [/mm] + [mm] b^{t}x
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 1 & 0,5 \\ 0,5 & 1 }
[/mm]
b = [mm] \vektor{-3 \\ -2} [/mm] |
Hallo!
Habe hier ein kleines Verständnisproblem: Heißt das, dass ich hier die Matrix A mit x multiplizieren muss und das Produkt daraus wiederum mit x multiplizieren muss? Was bedeutet dieses kleine hochgestellte t?
Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist die Lösung:
f(x) = [mm] \pmat{ x² & 0,5x² \\ 0,5x² & x² } [/mm] + [mm] \vektor{-3x \\ -2x}
[/mm]
Ist das richtig?
mfg
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Hallo medion!
> Berechne: f(x) = [mm]x^{t}Ax[/mm] + [mm]b^{t}x[/mm]
> A = [mm]\pmat{ 1 & 0,5 \\ 0,5 & 1 }[/mm]
>
> b = [mm]\vektor{-3 \\ -2}[/mm]
> Hallo!
>
> Habe hier ein kleines Verständnisproblem: Heißt das, dass
> ich hier die Matrix A mit x multiplizieren muss und das
> Produkt daraus wiederum mit x multiplizieren muss? Was
> bedeutet dieses kleine hochgestellte t?
Nein, also die Reihenfolge musst du schon beachten, denn die Matrizenmultiplikation ist in der Regel nicht kommutativ! Also du kannst zwar zuerst A mit x multiplizieren, musst dann aber [mm] x^t [/mm] mit dem Ergebnis davon multiplizieren (nicht das Ergebnis davon mit [mm] x^t).
[/mm]
Und das kleine "t" war bei uns meist ein großes, aber das ist wohl überall wieder anders, jedenfalls steht es für die ![[]](/images/popup.gif) Transponierte, das ist die Matrix, die entsteht, wenn du bei deiner Matrix die Zeilen und Spalten vertauschst, also die Matrix quasi um 90° drehst. Da die entsprechende "Matrix" hier nur ein Zeilenvektor ist, musst du daraus einen Spaltenvektor machen, also für [mm] x=\vektor{x_1\\x_2} [/mm] ist [mm] x^t=(x_1\:\:x_2). [/mm] Ansonsten wäre die Multiplikation mit dem Rest auch gar nicht definiert (wahrscheinlich wolltest du deswegen andersherum multiplizieren.
Ach ja, und bei b musst du natürlich auch transponieren.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Do 24.04.2008 | | Autor: | medion |
ok, das heißt:
Ax = [mm] \pmat{ x & 0,5x \\ 0,5x & x }
[/mm]
aber was ist jetzt [mm] x^{t}? [/mm] Check ich irgendwie nicht.
[mm] b^{t} [/mm] = (-3 -2) multipliziert mit x ergibt: (-3x -2x)
mfg
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Hallo medion,
> ok, das heißt:
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> Ax = [mm]\pmat{ x & 0,5x \\ 0,5x & x }[/mm]
>
> aber was ist jetzt [mm]x^{t}?[/mm] Check ich irgendwie nicht.
>
> [mm]b^{t}[/mm] = (-3 -2) multipliziert mit x ergibt: (-3x -2x)
[mm]x^{t}[/mm] ist, wie Bastiane schon schrieb, [mm]\pmat {x_{1} & x_{2}[/mm]
Demnach hast Du dann:
[mm]x^{t}Ax=\pmat{ x_{1} & x_{2}}*\pmat{1 & 0,5 \\ 0,5 & 1}*\pmat{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
[mm]b^{t}x=\pmat{ -3 & -2}*\pmat{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
>
> mfg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Do 24.04.2008 | | Autor: | medion |
Danke für die Hilfe!!
ok, jetzt ergibt auch meine Lösung einen Sinn:
f(x) = [mm] x_{1}²+x_{2}²+x_{1}x_{2}-3x_{1}-2x_{2}
[/mm]
So, und wenn man aus dieser Funktion die kritischen Punkte berechnen will (Minima/Maxima) muss man zuerst den Gradienten ermitteln:
grad f = [mm] \vektor{2x_{1}+x_{2}-3 \\ 2x_{2}+x_{1}-2}
[/mm]
jetzt muss man diesen 0 setzen: [mm] \vektor{2x_{1}+x_{2}-3 \\ 2x_{2}+x_{1}-2} [/mm] = (0,0)
Ergebnisse für [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
dh der kritische Punkt liegt bei P [mm] (\bruch{4}{3},\bruch{1}{3})
[/mm]
H f = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }
[/mm]
H [mm] f|_{p} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }
[/mm]
Nachdem [mm] a_{11} [/mm] der Hessematrix f im Punkt P 2 (>0) und die Determinante 3 ist (>0), ist diese Matrix positiv definit. -> dieser kritische Punkt ist ein lokaler Minimizer.
Kann das stimmen?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Do 24.04.2008 | | Autor: | taura |
Hallo medion!
> ok, jetzt ergibt auch meine Lösung einen Sinn:
>
> f(x) = [mm]x_{1}²+x_{2}²+x_{1}x_{2}-3x_{1}-2x_{2}[/mm]
>
> So, und wenn man aus dieser Funktion die kritischen Punkte
> berechnen will (Minima/Maxima) muss man zuerst den
> Gradienten ermitteln:
>
> grad f = [mm]\vektor{2x_{1}+x_{2}-3 \\ 2x_{2}+x_{1}-2}[/mm]
>
> jetzt muss man diesen 0 setzen: [mm]\vektor{2x_{1}+x_{2}-3 \\ 2x_{2}+x_{1}-2}[/mm]
> = (0,0)
>
> Ergebnisse für [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{4}{3}[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> dh der kritische Punkt liegt bei P
> [mm](\bruch{4}{3},\bruch{1}{3})[/mm]
>
> H f = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
>
> H [mm]f|_{p}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
>
> Nachdem [mm]a_{11}[/mm] der Hessematrix f im Punkt P 2 (>0) und die
> Determinante 3 ist (>0), ist diese Matrix positiv definit.
> -> dieser kritische Punkt ist ein lokaler Minimizer.
>
> Kann das stimmen?
Jawohl 
Grüße taura
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