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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Di 03.01.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Betrachte die Matrix A [mm] \in M_{n x n } (\IK)
[/mm]
A= [mm] \pmat{ 0 & 1&0&....&0 \\ & 0& \ddots&\vdots\\\vdots&&\ddots&\ddots&0\\&&&0&1\\0&&...&&0}, [/mm] dh [mm] A_{ij} =\begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+1 \mbox{ und} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \end{cases}
[/mm]
Berechne [mm] A^k [/mm] = A*...A für jedes k [mm] \in \IN.
[/mm]
Tipp: Zunächst für kleine n, etwa A = [mm] \pmat{ 0 & 1&0 \\ 0 & 0&1\\0&0&0 } [/mm] oder A= [mm] \pmat{ 0 & 1&0 &0\\ 0 & 0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0 } [/mm] |
z.B
A = [mm] \pmat{ 0 & 1&0 \\ 0 & 0&1\\0&0&0 } [/mm]
A*A = [mm] \pmat{ 0 & 0&1 \\ 0 & 0&0\\0&0&0 } [/mm]
[mm] A*A*A=\pmat{ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0\\0&0&0 } [/mm]
z.B
A= [mm] \pmat{0 &1&0 &0\\ 0 & 0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0 }
[/mm]
A*A= [mm] \pmat{ 0 & 0&1 &0\\ 0 & 0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0 }
[/mm]
A*A*A= [mm] \pmat{ 0 & 0&0 &1\\ 0 & 0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 }
[/mm]
A*A*A*A= [mm] \pmat{ 0 & 0&0 &0\\ 0 & 0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 }
[/mm]
Trotzdem krieg ich das Bsp. im Allgemeinen nicht hin ;(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Di 03.01.2012 | | Autor: | barsch |
Naja, was fällt auf, wenn du deine beiden Beispiele betrachtest? Die 1en scheinen doch mit jeder weiteren Multiplikation um eine Spalte nach rechts zu "wandern".
Für n=3 ist wegen
> Betrachte die Matrix A [mm]\in M_{n x n } (\IK)[/mm]
> A= [mm]\pmat{ 0 & 1&0&....&0 \\
& 0& \ddots&\vdots\\
\vdots&&\ddots&\ddots&0\\
&&&0&1\\
0&&...&&0},[/mm] dh [mm]A_{ij} =\begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+1 \mbox{ und} \\
0, & \mbox{andernfalls } \end{cases}[/mm]
[mm]A=\pmat{ 0 & 1&0 \\
0 & 0&1\\
0&0&0 }[/mm].
Nun ist [mm]A*A =A^2=\pmat{ 0 & 0&1 \\
0 & 0&0\\
0&0&0 }[/mm] , d.h. [mm]A_{ij} =\begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+2 \mbox{ und} \\
0, & \mbox{andernfalls } \end{cases}[/mm]
Achte auf [mm]A^2[/mm] (die 2 im Exponent und [mm]j=i+2[/mm] in der Fallunterscheidung).
Was gilt nun für [mm]A^3[/mm]?
Kannst du daraus etwas für [mm]A^k[/mm] (für beliebige [mm]n,k\in\IN[/mm]) herleiten?
> Berechne [mm]A^k[/mm] = A*...A für jedes k [mm]\in \IN.[/mm]
Viel Erfolg.
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Di 03.01.2012 | | Autor: | quasimo |
> Was gilt nun für $ [mm] A^3 [/mm] $?
$ [mm] A\cdot{}A *A=A^3=\pmat{ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0\\ 0&0&0 } [/mm] $ , d.h. $ [mm] A_{ij} =\begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+3 \mbox{ und} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \end{cases} [/mm] $
> Kannst du daraus etwas für $ [mm] A^k [/mm] $ (für beliebige $ [mm] n,k\in\IN [/mm] $) herleiten?
[mm] A^k=A*A...*A
[/mm]
[mm] A_{ij} [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+k \mbox{ und} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \end{cases} [/mm]
Das ist ja nur eine Folgerung, aber dass muss man ja noch beweisen, aber wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 03.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
Laut schallt der Ruf nach Induktion! richtig fuer k=1
...
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Di 03.01.2012 | | Autor: | quasimo |
$ [mm] A^k=A\cdot{}A...\cdot{}A [/mm] $
$ [mm] A_{ij} [/mm] $ = $ [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+k \mbox{ und} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \end{cases} [/mm] $
I.Anfang k=1
$ [mm] A_{ij} [/mm] $ = $ [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+1 \mbox{ und} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \end{cases} [/mm] $
A= $ [mm] \pmat{ 0 & 1&0&....&0 \\ & 0& \ddots&\vdots\\\vdots&&\ddots&\ddots&0\\&&&0&1\\0&&...&&0}, [/mm] $ dh $ [mm] A_{ij} =\begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+1 \mbox{ und} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \end{cases} [/mm] $ richtig.
I.Annahme k=n gilt
$ [mm] A_{ij} [/mm] $ = $ [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+n \mbox{ und} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \end{cases} [/mm] $
ZuZeigen:
$ [mm] A_{ij} [/mm] $ = $ [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+n+1 \mbox{ und} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \end{cases} [/mm] $
I.SChritt.
Beim Induktionsschritt hackts. Wo sollte ich denn da beginnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:59 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du mult [mm] A^k [/mm] bekannt nach IndVors mit A
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 04.01.2012 | | Autor: | quasimo |
> Hallo
> du mult [mm]A^k[/mm] bekannt nach IndVors mit A
> Gruss leduart
IndVors=Indukionsannahme oder?
ABer ich weiß ja trotzdem nicht wie [mm] A^k [/mm] aussieht. Wie soll ich das also in Matrizenform aufschreiben? Ich weiß ja nicht wo die j=i+n-te diagonale ist um meine 1´en hinzuschreiben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein formel zeigt doch, wo die 1 sen stehen? Und du kannst die Formel für Matrizenmultiplikation? sonst sieh dir an, wie du etwa von [mm] A^3 [/mm] auf [mm] A^4 [/mm] kommst
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mi 04.01.2012 | | Autor: | quasimo |
hallo nochmals ;)
[mm] (A*B)_{ij}= \summe_{k=1}^n A_{ik}*B_{kj}
[/mm]
Iduktionsschritt.
[mm] A^{n+1} [/mm] = [mm] A^{n} [/mm] * A= [mm] \summe_{k=1}^n A^n_{ik}*A_{kj}
[/mm]
Ist das jetzt ganz daneben?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, jetzt musst du nur dein wissen über die [mm] A_{ik} [/mm] von a und [mm] A^n [/mm] verwenden
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 04.01.2012 | | Autor: | quasimo |
> Iduktionsschritt.
> $ [mm] A^{n+1} [/mm] $ = $ [mm] A^{n} [/mm] $ * A= $ [mm] \summe_{k=1}^n A^n_{ik}\cdot{}A_{kj} [/mm] $
Hallo
Aber über [mm] A_{ik} [/mm] weiß ich doch nichts? Nur über [mm] A_{ij}.
[/mm]
[mm] A^n [/mm] war die Induktionsannahme.
Ich steh grade glaube ich, etwas am SChlauch. ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Name der Indices ist doch wurscht! Wenn du was über [mm] A_{ik} [/mm] weist, dann daselbe über [mm] A_{rs} [/mm] und andere auch. du weisst doch sowohl bei A wie bei A1n welche einträge 0 und welche 1 sind.
Zusatz: man muss vielleicht auch mal mehr als 3 minuten probieren um selber was rauszukriegen, wie ich sagte, etwa wie kommt man von [mm] A^3 [/mm] nach [mm] A^4 [/mm] wie sieht das mit der pünktchenmatrix aus, wie in der Summenschreibweise. Bitte pest nicht neue Fragen bevor du mindestens ne halbe Stunde dich damit beschäftigt hast. Sonst machen wir dich hier völlig unselbständig., Das forum soll dir helfen, aber nicht deine eigenen Anstrengungen aufs Fragen beschränken.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mi 04.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo ;)
Komischerweise muss ich auch nur bei dir manchmal so viel nachfragen^^ ;P
I.SChritt
$ [mm] A^{n+1} [/mm] $ = $ [mm] A^{n} [/mm] $ * A= $ [mm] \summe_{k=1}^n A^n_{ik}\cdot{}A_{kj} [/mm] $
->I.Annahme: [mm] a_{ik} [/mm] = 1, wenn k = i+n -> [mm] 1*A_{jk}
[/mm]
[mm] A_{ik}=0 [/mm] sonst -> 0* [mm] A_{jk}=0
[/mm]
[mm] A_{i.i+n}^n*A_{kj}
[/mm]
->Angabe [mm] A_{kj} [/mm] = 1...fals j=k+1 und 0...andernfalls
[mm] A_{i.i+n}^n*A_{k.k+1}=1
[/mm]
andernfalls [mm] A_{kj}=0 ->A_{i.i+n}^n*A_{kj}=0
[/mm]
1) Stimmt das? Ich glaub mit die Indizes ist es ein bisschen durcheinander.
2) Was wäre der nächste Schritt
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo ;)
> Komischerweise muss ich auch nur bei dir manchmal so viel
> nachfragen^^ ;P
>
> I.SChritt
> [mm]A^{n+1}[/mm] = [mm]A^{n}[/mm] * A= [mm]\summe_{k=1}^n A^n_{ik}\cdot{}A_{kj}[/mm]
so falsch
[mm] A^{n+1}[/mm] [/mm] = [mm]A^{n}[/mm] * A
daraus
[mm] A^{n+1}_{ij} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^m A^n_{ik}\cdot{}A_{kj}[/mm]
[/mm]
die Summationsgrenze hat nichts mit b zu tum, sondern mit der dimension von A! die ich m nenne.
jetzt betrachte direkt [mm] A^n_{ik}\cdot{}A_{kj} [/mm] mit den Vors über [mm] A^n [/mm] und A
> ->I.Annahme: [mm]a_{ik}[/mm] = 1, wenn k = i+n -> [mm]1*A_{jk}[/mm]
den folgepfeil kapier ich nicht
jetzt betrachte direkt [mm] A^n_{ik}\cdot{}A_{kj} [/mm] mit den Vors über [mm] A^n [/mm] und A
> [mm]A_{ik}=0[/mm] sonst -> 0* [mm]A_{jk}=0[/mm]
>
> [mm]A_{i.i+n}^n*A_{kj}[/mm]
> ->Angabe [mm]A_{kj}[/mm] = 1...fals j=k+1 und 0...andernfalls
das ist nicht gut gezeigt, aber du hast es fast
>
> [mm]A_{i.i+n}^n*A_{k.k+1}=1[/mm]
welches Element von [mm] a^{n+1} [/mm] ist das denn?
> andernfalls [mm]A_{kj}=0 ->A_{i.i+n}^n*A_{kj}=0[/mm]
>
> 1) Stimmt das? Ich glaub mit die Indizes ist es ein
> bisschen durcheinander.
> 2) Was wäre der nächste Schritt
wenn du raus hast dass die Beh für die [mm] A_{ik} [/mm] wie anfangs formuliert richtig ist, bist du fertig.
also $ [mm] A_{ij} [/mm] $ = $ [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+n+1 \mbox{ und} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \end{cases} [/mm] $
also konzentrier dich darauf die 2 Fälle zu zeigen
hast dus mal bon 3 nach 4 gemacht?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mi 04.01.2012 | | Autor: | quasimo |
> > I.SChritt
> > [mm]A^{n+1}[/mm] = [mm]A^{n}[/mm] * A= [mm]\summe_{k=1}^n A^n_{ik}\cdot{}A_{kj}[/mm]
>
> so falsch
So falsch? Wie meinst du das? Oder war allein die Summengrenze falsch?
> [mm]A^{n+1}[/mm][/mm] = [mm]A^{n}[/mm] * A
> daraus
> [mm]A^{n+1}_{ij}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^m A^n_{ik}\cdot{}A_{kj}[/mm][/mm]
> die
> Summationsgrenze hat nichts mit b zu tum, sondern mit der
> dimension von A! die ich m nenne.
Was ist b?
> jetzt betrachte direkt [mm]A^n_{ik}\cdot{}A_{kj}[/mm] mit den Vors
> über [mm]A^n[/mm] und A
> > ->I.Annahme: [mm]a_{ik}[/mm] = 1, wenn k = i+n -> [mm]1*A_{jk}[/mm]
> den folgepfeil kapier ich nicht
Meinte auch nur, dass ich nun die Induktionsannahme verwende. Sry.
> jetzt betrachte direkt [mm]A^n_{ik}\cdot{}A_{kj}[/mm] mit den Vors
> über [mm]A^n[/mm] und A
> > [mm]A_{ik}=0[/mm] sonst -> 0* [mm]A_{jk}=0[/mm]
> >
> > [mm]A_{i.i+n}^n*A_{kj}[/mm]
> > ->Angabe [mm]A_{kj}[/mm] = 1...fals j=k+1 und 0...andernfalls
> das ist nicht gut gezeigt, aber du hast es fast
Mhm. Heißt: "es ist nicht gut gezeigt", dass es stimmt oder nicht? Was ist den nicht"schön", bzw. nicht richtig?
> > [mm]A_{i.i+n}^n*A_{k.k+1}=1[/mm]
> welches Element von [mm]a^{n+1}[/mm] ist das denn?
> > andernfalls [mm]A_{kj}=0 ->A_{i.i+n}^n*A_{kj}=0[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
b war vertippt ich meinere natürlich n!
ich kann nicht wirklich sehen, an welcher Stelle du nun zeigst
ZuZeigen:
$ [mm] A^{n+1}_{ij} [/mm] $ = $ [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} j=i+n+1 \mbox{ und} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \end{cases} [/mm] $
vielleicht musst du nur die indices richtiger anordnen? ich seh den Beweis nicht.
irgenswo muss doch stehen [mm] A^{n+1}_{i,i+n+1}=1 [/mm] und [mm] A^{n+1}_{ij}=0 [/mm] für [mm] j\ne [/mm] i+n+1
Gruss leduart
Gruss leduart
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