Matrizenrechnung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Sa 21.03.2009 | | Autor: | kowi |
| Aufgabe | [mm] $e^{AT} A^{-1}e^{-AT}(e^{-AT}-I) [/mm] = [mm] A^{-1}(e^{AT}-I)$
[/mm]
[mm] $e^{AT}A^{-1}e^{-AT} [/mm] = [mm] A^{-1}$
[/mm]
Warum? |
Hallo.
Ich sehe obige Umformung nicht und vermute, dass diese auch falsch ist?
Kann mich jemand korrigieren oder bestätigen?
Die Zeile vorher lautet übrigens
[mm] $e^{AT}A^{-1}(I-e^{-AT}) [/mm] = [mm] e^{AT} A^{-1}e^{-AT}(e^{-AT}-I)$
[/mm]
die erscheint mir richtig.
Danke,
kowi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
bevor ich beginne, irgendwas zu denken, wüßte ich noch gern, was es mit A und T auf sich hat. A ist offenbar invertierbar, sonst noch was?
Was ist T?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Sa 21.03.2009 | | Autor: | kowi |
Hallo Angela.
> bevor ich beginne, irgendwas zu denken, wüßte ich noch
> gern, was es mit A und T auf sich hat. A ist offenbar
> invertierbar,
Richtig!
> sonst noch was?
> Was ist T?
Wie sagt man dazu: Ein Parameter?
Jedenfalls ist [mm] e^{AT} [/mm] die Matrixexponentialfunktion, definiert als
[mm] $e^{AT} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty A^k [/mm] * [mm] \frac{T^k}{k!}$
[/mm]
> Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela.
>
> > bevor ich beginne, irgendwas zu denken, wüßte ich noch
> > gern, was es mit A und T auf sich hat. A ist offenbar
> > invertierbar,
>
> Richtig!
>
> > sonst noch was?
> > Was ist T?
>
> Wie sagt man dazu: Ein Parameter?
Hallo,
ist das also eine reelle Zahl? Keine Matrix?
Gruß v. Angela
>
> Jedenfalls ist [mm]e^{AT}[/mm] die Matrixexponentialfunktion,
> definiert als
>
> [mm]e^{AT} = \sum_{k=0}^\infty A^k * \frac{T^k}{k!}[/mm]
>
> > Gruß v. Angela
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Sa 21.03.2009 | | Autor: | kowi |
Hallo.
> > Wie sagt man dazu: Ein Parameter?
>
> Hallo,
>
> ist das also eine reelle Zahl? Keine Matrix?
Ich glaube, ein Beispiel ist hier das beste Mittel, um zu erklären, was ich meine
A = [mm] \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -2\end{pmatrix}
[/mm]
=> [mm] $e^{At} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix}-2t&t \\ 0 & -2t \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 4*0.5*t^2 & -4*0.5t^2 \\0 & 4*0.5t^2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -8*1/(3!)*t^3 & 12*1/(3!)*t^3 \\ 0 & - 8*1/(3!)*t^3 \end{pmatrix}+...$
[/mm]
$= [mm] \begin{pmatrix} e^{-2t}&te^{-2t} \\ 0 & e^{-2t} \end{pmatrix}$
[/mm]
statt T habe ich jetzt t geschrieben.
Danke schon mal für dein Interesse, Angela
Liebe Grüße,
Kowi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Sa 21.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Da T [mm] \in \IR, [/mm] sind die Gleichungen
$ [mm] e^{AT} A^{-1}e^{-AT}(e^{-AT}-I) [/mm] = [mm] A^{-1}(e^{AT}-I) [/mm] $
$ [mm] e^{AT}A^{-1}e^{-AT} [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] $
eine Trivialität, denn A ist mit [mm] e^{AT} [/mm] vertauschbar und [mm] e^{-AT} [/mm] = [mm] (e^{AT})^{-1}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:44 Sa 21.03.2009 | | Autor: | kowi |
Hallo fred,
Danke für deine Antwort.
> eine Trivialität, denn A ist mit [mm]e^{AT}[/mm] vertauschbar und
> [mm]e^{-AT}[/mm] = [mm](e^{AT})^{-1}[/mm]
Aber hätte ich z. B.
$ [mm] e^{AT} A^{-1}e^{-AT}(B-I) [/mm] = [mm] A^{-1}(B-I) [/mm] $
könnte ich von rechts mit [mm] (B-I)^{-1} [/mm] beide Seiten multiplizieren, dann hätte ich
$ [mm] e^{AT} A^{-1}e^{-AT}(B-I)(B-I)^{-1} [/mm] = [mm] A^{-1}(B-I)(B-I)^{-1} [/mm] $
Selbiger Trick funktioniert bei
$ [mm] e^{AT} A^{-1}e^{-AT}(e^{-AT}-I) [/mm] = [mm] A^{-1}(e^{AT}-I) [/mm] $
aber nicht.
Deiner Argumentation nach entnehme ich, dass [mm] (e^{AT}-I) [/mm] = [mm] (e^{-AT}-I) [/mm] ? Ich verstehe da die Trivialität nicht ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Schöne Grüße,
Kowi
|
|
|
| |
|
> Hallo fred,
> Danke für deine Antwort.
>
> > eine Trivialität, denn A ist mit [mm]e^{AT}[/mm] vertauschbar und
> > [mm]e^{-AT}[/mm] = [mm](e^{AT})^{-1}[/mm]
>
> Aber hätte ich z. B.
>
> [mm]e^{AT} A^{-1}e^{-AT}(B-I) = A^{-1}(B-I)[/mm]
>
> könnte ich von rechts mit [mm](B-I)^{-1}[/mm] beide Seiten
> multiplizieren,
Hallo,
das geht natürlich nur, wenn B-I invertierbar ist.
> Deiner Argumentation nach entnehme ich, dass [mm](e^{AT}-I)[/mm] =
> [mm](e^{-AT}-I)[/mm] ? Ich verstehe da die Trivialität nicht
>
Ich sehe auch nicht, daß [mm] e^{At} [/mm] in jedem Falle gleich [mm] e^{-At} [/mm] ist.
Aber war vielleicht irgendwas besonderes vorausgesetzt? Was wird hier warum ausgerechnet?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Mo 23.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich muß meine Antwort von oben korrigieren (da hab ich ein "-" übersehen.)
Da [mm] e^{AT} [/mm] mit A vertauschbar ist und [mm] e^{-AT} [/mm] = [mm] (e^{AT})^{-1} [/mm] ist, folgt
$ [mm] e^{AT}A^{-1}e^{-AT} [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] $.
Aus
$ [mm] e^{AT} A^{-1}e^{-AT}(e^{-AT}-I) [/mm] = [mm] A^{-1}(e^{AT}-I) [/mm] $
folgt dann
$ [mm] e^{2AT} [/mm] = I $
Mehr kann man nicht sagen
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 Di 24.03.2009 | | Autor: | kowi |
Hallo Fred, danke für den Nachtrag. Dann ist es mir jetzt klar. Danke dir.
Und auch danke an Angela für ihr Interesse und das Draufeingehen auf meine Frage.
Schöne Grüße
kowi
|
|
|
|
