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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Fr 09.12.2005 | | Autor: | cruemel |
Hallo,
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Komm bei einer Aufgabe leider nicht mehr weiter.
Erst mal die Aufgabenstellung:
Für zwei n [mm] \times [/mm] n Matrizen über dem Körper K gelte AB - BA = [mm] E_{n}. [/mm] Zeige , dass für alle m [mm] \in \IN [/mm] dann [mm] A^{m}B -BA^{m} [/mm] = [mm] mA^{m-1} [/mm] gilt.
Nun dachte ich mir das müsste eigentlich mit vollständiger Induktion zu beweisen sein. Für n = 0 kein Problem, doch dann komme ich auf eine Zeile bei der ich nicht mehr weiter komme:
m -> m+1: [mm] A^{m+1}B -BA^{m+1} [/mm] = [mm] (m+1)A^{m}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] A^{m}AB -BA^{m}A [/mm] = [mm] mA^{m} [/mm] + [mm] A^{m}
[/mm]
Und da Matrizen ja nicht kommutativ sind, weiss ich nicht mehr weiter :-(
Hat jemand Tips Für mich?
Grüße
Crümel
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> Erst mal die Aufgabenstellung:
> Für zwei n [mm]\times[/mm] n Matrizen über dem Körper K gelte AB -
> BA = [mm]E_{n}.[/mm] Zeige , dass für alle m [mm]\in \IN[/mm] dann [mm]A^{m}B -BA^{m}[/mm]
> = [mm]mA^{m-1}[/mm] gilt.
>
> Nun dachte ich mir das müsste eigentlich mit vollständiger
> Induktion zu beweisen sein. Für n = 0 kein Problem, doch
> dann komme ich auf eine Zeile bei der ich nicht mehr weiter
> komme:
Hallo,
hat doch gar nicht so schlecht angefangen...
>
> m -> m+1:
Zu zeigen ist [mm]A^{m+1}B -BA^{m+1}[/mm] = [mm](m+1)A^{m}[/mm].
[mm] A^{m+1}B -BA^{m+1}
[/mm]
[mm] =A^{m+1}B -BAA^{m}
[/mm]
[mm] =A^{m+1}B-(-E_n+AB)A^m [/mm] (n.V.)
[mm] =A^{m+1}B+A^m-ABA^m
[/mm]
[mm] =A(A^mB-BA^m)+A^m=...
[/mm]
Einsetzen der Induktionsvoraussetzung liefert das Ergebnis.
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]A^{m}AB -BA^{m}A[/mm] = [mm]mA^{m}[/mm] + [mm]A^{m}[/mm]
Hierzu noch eine Bemerkung: laß das mit den Äquivalenzumformungen bei vollständiger Induktion. Selten gewinnt man etwas, oft läuft ewas schief... (Das ist nur so allgemein gesprochen. Bei Deiner Umformung ist nichts schief gelaufen.)
Fang mit einer Seite der Gleichung an und forme so lange und vor allem so geschickt um, bis da steht, was stehen soll.
Gruß v. Angela
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