Matrizenrechnung, Drehmatrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Boffi23 |
Hi!
Ich hoffe, mir kann jemand bei folgendem Problem weiterhelfen:
Bringen Sie
Matrix A=
1 | 0 | 0
0 | 3/2 | -1/2
0 | -1/2 | 3/2
Auf Hauptachsenform (Diagonalform)
a) Wie lauten die Eigenwerte?
b) Wie lauten die Eigenvektoren?
c) Wie lautet die Drehmatrix D0 ?
Wäre nett, wenn sich jemand mal kurz das durchschauen könnte und mir seine Ergebnisse (mit etwas Lösungsweg) hier posten könnte. Blicke nämlich noch nicht so durch da, deshalb wäre etwas zum Lösungsweg auch ganz praktisch. Bin mir nicht sicher bei meiner Lösung.
Dankeschön und frohe Weihnachten
Boffi23
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com
|
|
| |
|
Die Eigenwerte erhält man als Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Dieses bestimmt man so:
Du hast deine Matrix [mm]A=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1,5 & -0,5 \\ 0 & -0,5 & 1,5}[/mm].
Das charakteristische Polynom [mm]p(\lambda)[/mm] erhältst du mit [mm]p(\lambda)=det(A-\lambda E)[/mm].
Also bei deiner Matrix auf der Hauptdiagonalen immer ein [mm]\lambda[/mm] abziehen, und davon dann die Determinante berechnen:
[mm]\vmat{1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1,5-\lambda & -0,5 \\ 0 & -0,5 & 1,5-\lambda}=(1-\lambda) \cdot ((1,5-\lambda)^2-0,25)[/mm]
Die Nullstellen davon sind [mm]\lambda_{1,2}=1[/mm] und [mm]\lambda_3=2[/mm], und das sind auch die Eigenwerte der Matrix.
Für die Eigenvektoren setzt man diese Eigenwerte nacheinander in die Gleichung [mm]A-\lambda E=\vec{0}[/mm] ein.
Dort versucht man, mittels Gauß-Umformungen soviele Gleichungen wie möglich rauszuwerfen.
Wichtig: wenn man gerade einen n-fachen Eigenwert eingesetzt hat, dann fliegen mindestens eine, und höchstens n Zeilen raus.
Und genauso viele unabhängige Eigenvektoren, wie Zeilen rausgeflogen sind, kann man zu diesem Eigenwert dann finden.
Hier: zuerst Eigenwert [mm]\lambda_{1,2}=1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]A - 1 \cdot E = \pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & -0,5 \\ 0 & -0,5 & 0,5}[/mm]. Eine Gauß-Umformung führt auf die Eigenvektor-Gleichung:
[mm]\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1} \cdot \vec{v} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Da zwei Zeilen rausgefallen sind, kann man zwei lin. unabhängige Eigenvektoren finden, die diese Gleichung erfüllen. Z.B. kann man hier [mm]\vec{v_1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vec{v_2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] nehmen.
Mit derselben Methode findet man für den zweiten Eigenwert [mm]\lambda_3=2[/mm] einen möglichen Eigenvektor, das wäre z.B. [mm]\vec{v_3}=\vektor{0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
Nun weiß ich nicht genau, was du mit "Bestimme die Drehmatrix" meinst.
Meinst du vielleicht die Transformationsmatrix? Wenn wie diese mit T bezeichnen, und das Produkt [mm]T^{-1} \cdot A \cdot T[/mm] berechnen, dann erhalten wir eine sog. "Diagonalmatrix", die nur auf der Hauptdiagonalen Einträge ungleich Null hat, alle anderen Einträge sind [mm]=0[/mm]. Und diese Einträge auf der Hauptdiagonalen sind genau die Eigenwerte der Matrix A (und zwar genau in der Reihenfolge, in der man die Eigenvektoren als Spalten in die Matrix T eingebaut hat).
Die Aufgaben 1 und 2 habe ich sicher richtig beantwortet, bei Aufgabe 3 hoffe ich, dass wir nicht völlig aneinander vorbeigeredet haben, oder ich jetzt irgendeinen Blödsinn verzapft habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Fr 24.12.2004 | | Autor: | MathePower |
Hallo,
zu jedem isometrischen Endomorphismus L:V->V eines n-dimensionalen euklidischen Vektorrraumes existiert eine ON-Basis [mm]a_1 ,\; \ldots ,\;a_n [/mm] von V, bezüglich der die Matrix L die Form hat:
[mm]B_0 \; = \;diag\left( {D\left( {\Theta _1 } \right),\; \ldots ,\;D\left( {\Theta _r } \right),1,\; \ldots ,\;1,\; - 1,\;...,\; - 1} \right)[/mm]
Die Blockmatrix [mm]B_0[/mm] besteht aus einer Folge von r Drehmatrizen und einer sich daran anschließenden Folge von s Einsen und t Minuseinsen. Dabei gilt 2r + s + t = n
Konkret in diesem Beispiel bilden also die Eigenvektoren ein Orthogonalbasis des R³
Hier sieht dann die Matrix [mm]B_0[/mm] wie folgt aus:
[mm]B_0 \; = \left( {\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & {\cos \left( \Theta \right)} & { - \sin \left( \Theta \right)} \\ 0 & {\sin \left( \Theta \right)} & {\cos \left( \Theta \right)} \\
\end{matrix}} \right)[/mm]
wobei
[mm]D\left( \Phi \right)\; = \;\left( {\begin{matrix}
{\cos \left( \Theta \right)} & { - \sin \left( \Theta \right)} \\
{\sin \left( \Theta \right)} & {\cos \left( \Theta \right)} \\
\end{matrix}} \right)[/mm]
die Drehmatrix ist.
Hier kommen am ehesten die Vektoren [mm]v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] in Frage. Diese sind dann noch zu normieren.
[mm]D\left( \Phi \right)\; = \;\left( {\begin{matrix}{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\ { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\\end{matrix}} \right)\; = \,\left( {\frac{{v_3 }}{{\left| {v_3 } \right|}},\;\frac{{v_2 }}{{\left| {v_2 } \right|}}} \right)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Boffi23 |
Hey dankeschön.
Kannst du mir nun nur nochmal erläutern wie man
1) auf die Kombination von cos, sin, - sin und so weiter kommt? Also generell auch.
2) warum die Drehmatrix diese normierten Eigenvektoren drin haben muss und als Werte nicht die Werte der eigentlich in der Aufgabe gegebenen Matrix rauskommen müssen?
Danke schonmal!
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Drehmatrix scheint wohl nicht ganz richtig sein.
Hier handelt es sich um die Orthonormalbasis.
Richtig ist, dass es eine Matrix D gibt, so daß
[mm]{\rm{B}}_{\rm{0}} \;{\rm{ = }}\;{\rm{DAD}}^{\rm{T}} [/mm]
Hier sind dann D und A orthogonale Matrizen.
Die Matrix [mm]B_0[/mm] ist dann die Normalform der Matrix A.
Für die Berechnung der Normalform [mm]B_0[/mm] von A erhält man, in dem man die Berechnung der Eigenwerte von [mm]A + A^{T}[/mm]
betrachtet.
Gruss
Mathepower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 26.12.2004 | | Autor: | Boffi23 |
Alles klar, also ist $ [mm] {\rm{B}}_{\rm{0}} \;{\rm{ = }}\;{\rm{DAD}}^{\rm{T}} [/mm] $ die Diagonalmatrix, denn ich erhalte nach Berechnung eben die Diagonalform mit 1,1,2 in der Diagonale.
Und die Drehmatrix ist aber doch schon so was mit cos und sin?!
Hab in nem anderen Forum erfahren, dass die schon so ähnlich aussieht wie du geschrieben hast, jedoch nicht 2x2 Matrix sondern als 3x3:
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos[x] & -sin[x] \\ 0 & sin[x] & cos[x] } [/mm] $
So sollte es doch sein? Also hab nochmal nachgedacht und geprüft und sieht irgendwie gut aus? Handelt sich um eine Drehung um [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
mailback,
thx
|
|
|
| |
|
Hallo Boffi,
von der Matrix A, die da angegeben wurde kann es gar keine Drehmatrix geben.
Erstens muss die Matrix A orthogonal sein:
[mm]AA^{T}=A^{T}A=I[/mm]
Hier ist A eine orthonormale Matrix, d.h. die Spalten
von A haben alle den Betrag 1.
Zweitens muss die Matrix A komplexe Eigenwerte haben.
Eigenwerte der Form a[mm]\pm[/mm]bi, wobei i die imaginäre
Einheit ist.
[mm]i = \wurzel{-1}[/mm]
Dies ist hier nicht der Fall.
Drittens muss die Matrix A einen Eigenwert 1 besitzen
Vielleicht teilst Du mal mit was genau mit der Drehmatrix´
in dieser Aufgabe gemeint ist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 So 26.12.2004 | | Autor: | Boffi23 |
Das kann ich leider momentan noch nicht genau sagen, da wir es eben erst hatten und jetzt mal über Weihnachten ne Aufgabe rechnen sollen.
Ich kann nur sagen, dass die Betrachtung konjugiert komplexer Lösungen rausfällt. Als wir das hergeleitet haben, haben wir bewiesen, dass für unseren Fall (und ich studiere Physik) keine komplexen Lösungen zugelassen sind. Wir haben zwar gesagt bekommen, dass es diese gibt, aber von uns nicht (sondern nur von den Mathematikern) betrachtet werden. In der Physik kann man wenig mit Imaginärem anfangen 
Also was genau gemeint ist, weiß ich nicht.
Dachte nur dass die Diagonalmatrix eben diese wie beschrieben ist, die rauskommt, wenn man A B A^-1 rechnet, was ja auch der Fall ist! --> kommt raus.
Und ich dachte, dass die Drehmatrix eben was mit cos und sin ist, So stehen auch Beispielaufgaben im Theo.Phys. Buch drin. Leider nur eine und nur die Lösung ohne Weg o.ä.
Also ich frage dann nochmal nach, aber denke, dass die Lösung so nicht so schlecht für physikalische Zwecke ist.
Ich danke dir dennoch für deine Mühe und Gedult, habe das nur erst gelernt und noch nicht ganz verstanden, demnach meine viele Nachfragerei. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mo 27.12.2004 | | Autor: | MathePower |
Hallo Boffi,
im dreidimensionalen gibt es folgende Normalformen:
Eigentliche Drehung:
[mm]\left( {\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {\cos \left( \Theta \right)} & { - \sin \left( \Theta \right)} \\ 0 & {\sin \left( \Theta \right)} & {\cos \left( \Theta \right)} \\ \end{matrix}} \right)[/mm]
Identität:
[mm]\left( {\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}} \right)[/mm]
Geradenspiegelung:
[mm]\left( {\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & { - 1} & 0 \\ 0 & 0 & { - 1} \\ \end{matrix}} \right)[/mm]
Drehspiegelung:
[mm]\left( {\begin{matrix} { - 1} & 0 & 0 \\ 0 & {\cos \left( \Theta \right)} & { - \sin \left( \Theta \right)} \\ 0 & {\sin \left( \Theta \right)} & {\cos \left( \Theta \right)} \\ \end{matrix}} \right)[/mm]
Ebenenspiegelung:
[mm]\left( {\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & { - 1} \\
\end{matrix}} \right)[/mm]
Punktspiegelung:
[mm]\left( {\begin{matrix} { - 1} & 0 & 0 \\ 0 & { - 1} & 0 \\ 0 & 0 & { - 1} \\ \end{matrix}} \right)[/mm]
Da die Matrix nur reelle Eigenwerte hat kommen eigentlich nur die Identiät, Geradenspiegelung, Ebenenspiegelung oder Punktspiegelung in Frage.
Gruss
MathePower
MathePower
|
|
|
|
