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| Aufgabe | [mm] X_1,..,X_n [/mm] seien st.u. nicht singulär [mm] \mathcal{N}_r(\mu,\Sigma)-verteilte [/mm] ZG mit unbekanntem Parameter [mm] (\mu,\Sigma)\in \mathbb{R}^r\times \mathbb{R}^{r\times r}, [/mm] dann ist deren Produktdichte gegeben durch
[mm] p(x,\mu,\Sigma)=(2\pi)^{-rn/2} |\Sigma|^{-n/2}\exp{\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^T\Sigma^{-1}(x_i-\mu)\right)} [/mm] und die ML-Schätzer für [mm] \mu [/mm] und [mm] \Sigma [/mm] sind:
[mm] \hat{\mu}_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i
[/mm]
[mm] \hat{\Sigma}_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\hat{\mu}_n(x))^T(x_i-\hat{\mu}_n(x)) [/mm] |
Hallo zusammen,
sei $ [mm] L_n(X)=\frac{max_{\theta\in\Theta_0}\prod_{i=1}^n p(x_i,\theta)}{max_{\theta\in\Theta}\prod_{i=1}^n p(x_i,\theta)}=\frac{(2\pi)^{-rn/2} |\sigma_0I_r|^{-n/2}\exp{\left(-\frac{1}{2}n\right)}}{(2\pi)^{-rn/2} |\hat{\Sigma}|^{-n/2}\exp{\left(-\frac{1}{2}n\right)}}=\frac{|\hat{\Sigma}|^{n/2}}{(\sigma_0)^{rn/2}}$ [/mm] der Likelihood-Quotient, wobei [mm] \Theta_0=\{(\mu,\Sigma)\in \mathbb{R}^r\times \mathbb{R}^{r\times r}|\Sigma=\sigma_0I_r, \sigma_0>0\}. [/mm] Dann erhält man durch eine monotone Transformation [mm] $\lambda(X)=L(X)^{1/n}=\frac{|\hat\Sigma|^{1/2}}{(\sigma_0)^{r/2}}$, [/mm] welche in der Arbeit von ![[]](/images/popup.gif) Mauchly verwendet wird.
Weiterhin wird hier beschrieben, falls für [mm] ein\Sigma [/mm] gilt, dass [mm] \sigma_{ii}+\sigma_{jj}-2\sigma_{ij}=2\lambda [/mm] ist, dann lässt sich [mm] \Sigma [/mm] durch eine geeignete einer orthonormalen Matrix [mm] C\in\mathbb{R}^{k-1\times k} [/mm] so transformieren, dass [mm] C^T\Sigma C=\gamma I_{k-1} [/mm] gilt.
Nun kann man diese Matrix auch mittels der Teststatistik [mm] \lambda(X) [/mm] einem Mauchly Test unterziehen. Nun unterscheidet sich allerdings die Teststatistik [mm] \lambda [/mm] von [mm] \frac{|C^T\hat{\Sigma} C|}{\left(tr(C^T\hat{\Sigma}C)/(k-1)\right)^{k-1}}, [/mm] wie sie im zweiten Link beschrieben wird.
1) Damit die Teststatistiken gleich sind fehlt doch ein hoch eineinhalb. Warum sind die Statistiken gleich?
2) Wie ergibt sich durch einsetzen der ML-Schätzer in [mm] \exp{\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^T\Sigma^{-1}(x_i-\mu)\right)} [/mm] gleich [mm] \exp{\left(-\frac{1}{2}n\right)}?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 22.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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