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Forum "mathematische Statistik" - Max-Likelihood Schätzer Weibul
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Max-Likelihood Schätzer Weibul: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 Sa 23.01.2010
Autor: Hoffmann79

Aufgabe
Gegeben ist eine Weibull-verteilte Zufallsgröße X mit dem Maßstabsparameter a (>0) und dem Formparameter b (>0).
Schätzen Sie unter Annahme, daß der Formparameter b bekannt ist, den Parameter a nach der Maximum-Likelihood-Methode!

Hallo Spezialisten,

hänge an obiger Aufgabe nun bereits seit längerem.

Mein Ansatz:

[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox x\le0 \\ \bruch{b}{a}(\bruch{x}{a})^{b-1}e^{-(\bruch{x}{a})^{b}}, & \mbox x>0 \end{cases} [/mm]

b bekannt -> [mm] a=\theta [/mm]

[mm] L(x_{1},...,x_{n};\theta)=\produkt_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta) [/mm]

[mm] lnL(x_{1},...,x_{n};\theta)=\summe_{i=1}^{n}ln(\bruch{b}{\theta}(\bruch{x}{\theta})^{b-1}e^{-(\bruch{x}{\theta})^{b}}) [/mm]

... [mm] =\summe_{i=1}^{n}(lnb-ln\theta+(b-1)(lnx-ln\theta)-(\bruch{x}{\theta})^{b}) [/mm]

Kann ich die Summe jetzt in die Klammer reinziehen, sodass daraus n wird?

-> ... = [mm] nlnb-nln\theta+n(b-1)(lnx-ln\theta)-n(\bruch{x}{\theta})^{b} [/mm]

Dann ginge es mit der Ableitung weiter, wobei das nächste Problem auftritt.

[mm] \bruch{\partial(lnL)}{\partial\theta}=-\bruch{n}{\theta}-\bruch{n(b-1)}{\theta}+\bruch{nb(\bruch{x}{\theta})}{\theta} [/mm]

Tja, da hängt es. Ich denke beim zusammenfassen und ableiten ist was schief gegangen.

        
Bezug
Max-Likelihood Schätzer Weibul: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 So 24.01.2010
Autor: luis52


> Gegeben ist eine Weibull-verteilte Zufallsgröße X mit dem
> Maßstabsparameter a (>0) und dem Formparameter b (>0).
>  Schätzen Sie unter Annahme, daß der Formparameter b
> bekannt ist, den Parameter a nach der
> Maximum-Likelihood-Methode!
>  Hallo Spezialisten,
>  
> hänge an obiger Aufgabe nun bereits seit längerem.
>  

Moin Daniel,

ein Gruss ins schoene Sachsen,
wo die huebschen Maedchen auf den Baeumen wachsen ... ;-)

> Mein Ansatz:

>

> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox x\le0 \\ \bruch{b}{a}(\bruch{x}{a})^{b-1}e^{-(\bruch{x}{a})^{b}}, & \mbox x>0 \end{cases}[/mm]

>

> b bekannt -> [mm]a=\theta[/mm]

>

> [mm]L(x_{1},...,x_{n};\theta)=\produkt_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta)[/mm]

[ok]


>

> [mm]lnL(x_{1},...,x_{n};\theta)=\summe_{i=1}^{n}ln(\bruch{b}{\theta}(\bruch{x}{\theta})^{b-1}e^{-(\bruch{x}{\theta})^{b}})[/mm]

[notok] Wo sind denn die [mm] $x_1,\dots,x_n$? [/mm]

vg Luis            

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Max-Likelihood Schätzer Weibul: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 So 24.01.2010
Autor: Hoffmann79

Hallo luis,

ja das stimmt, schöne Mädels gibt es hier.

Nun zu meiner Aufgabe. Sehe ich das richtig, dass aus den x-en in meiner Aufgabe [mm] x_{i} [/mm] werden?

->  $ [mm] lnL(x_{1},...,x_{n};\theta)=\summe_{i=1}^{n}ln(\bruch{b}{\theta}(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b-1}e^{-(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b}}) [/mm] $

und dementsprechend


... $ [mm] =\summe_{i=1}^{n}(lnb-ln\theta+(b-1)(lnx_{i}-ln\theta)-(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b}) [/mm] $

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Max-Likelihood Schätzer Weibul: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 So 24.01.2010
Autor: luis52


> Hallo luis,
>  
> ja das stimmt, schöne Mädels gibt es hier.
>  
> Nun zu meiner Aufgabe. Sehe ich das richtig, dass aus den
> x-en in meiner Aufgabe [mm]x_{i}[/mm] werden?

[ok]

>  
> ->  

> [mm]lnL(x_{1},...,x_{n};\theta)=\summe_{i=1}^{n}ln(\bruch{b}{\theta}(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b-1}e^{-(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b}})[/mm]
>
> und dementsprechend
>
>
> ...
> [mm]=\summe_{i=1}^{n}(lnb-ln\theta+(b-1)(lnx_{i}-ln\theta)-(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b})[/mm]

[ok] Schon besser.

vg Luis


Bezug
                                
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Max-Likelihood Schätzer Weibul: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 So 24.01.2010
Autor: Hoffmann79

Was passiert jetzt mit der Summe, wird die zu n?

Was ist mit der Ableitung?


$ [mm] \bruch{\partial(lnL)}{\partial\theta}=-\bruch{n}{\theta}-\bruch{n(b-1)}{\theta}+\bruch{nb(\bruch{x_{i}}{\theta})}{\theta} [/mm] $

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Bezug
Max-Likelihood Schätzer Weibul: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 So 24.01.2010
Autor: luis52


> Was passiert jetzt mit der Summe, wird die zu n?
>

[verwirrt] zu $n_$?

[mm] $\ln L=\summe_{i=1}^{n}(\ln b-\ln\theta+(b-1)(\ln x_{i}-\ln\theta)-(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b})$ [/mm]
    $= [mm] n\ln b-bn\ln\theta+(b-1)\sum_i\ln x_i-\frac{1}{\theta^n}\sum_ix_{i}^{b}$. [/mm]
vg Luis

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Max-Likelihood Schätzer Weibul: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 So 24.01.2010
Autor: Hoffmann79

Danke schonmal.

Jetzt muss ich noch ableiten.

[mm] \bruch{\partial(lnL)}{\partial\theta}=-\bruch{bn}{\theta}+\bruch{n\sum_ix_{i}^{b}}{\theta^{n+1}}=0 [/mm]

Jetzt nach [mm] \theta [/mm] auflösen, führt zu

[mm] \theta=\wurzel[n]{\bruch{\sum_ix_{i}^{b}}{b}} [/mm] ?

Bezug
                                                        
Bezug
Max-Likelihood Schätzer Weibul: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 So 24.01.2010
Autor: luis52


> Danke schonmal.
>  
> Jetzt muss ich noch ableiten.
>  
> [mm]\bruch{\partial(lnL)}{\partial\theta}=-\bruch{bn}{\theta}+\bruch{n\sum_ix_{i}^{b}}{\theta^{n+1}}=0[/mm]
>  
> Jetzt nach [mm]\theta[/mm] auflösen, führt zu
>  
> [mm]\theta=\wurzel[n]{\bruch{\sum_ix_{i}^{b}}{b}}[/mm] ?

Sieht gut aus.

vg Luis


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Max-Likelihood Schätzer Weibul: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 So 24.01.2010
Autor: Hoffmann79

Die vorgegebene Lösung sieht etwas anders aus und ich sehe momentan nicht, wie ich "meine" so umstellen kann.

[mm] \hat\theta=(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{b})^{\bruch{1}{b}} [/mm]

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Max-Likelihood Schätzer Weibul: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 So 24.01.2010
Autor: luis52


> Die vorgegebene Lösung sieht etwas anders aus und ich sehe
> momentan nicht, wie ich "meine" so umstellen kann.
>  
> [mm]\hat\theta=(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{b})^{\bruch{1}{b}}[/mm]
>  

Ehrlich gesagt, mir kam unsere Loesung auch nicht ganz koscher vor.
Leider habe ich uns etwas in den Wald geschickt. Ich korrigiere:

$ [mm] \ln L=\summe_{i=1}^{n}(\ln b-\ln\theta+(b-1)(\ln x_{i}-\ln\theta)-(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b}) [/mm] $
    $ = [mm] n\ln b-bn\ln\theta+(b-1)\sum_i\ln x_i-\frac{1}{\theta^{\red b}}\sum_ix_{i}^{b} [/mm] $.

Hoffentlich klappt's jetzt...

vg Luis

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Max-Likelihood Schätzer Weibul: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 So 24.01.2010
Autor: Hoffmann79

Dann müsste es so aussehen.

> $ [mm] \bruch{\partial(lnL)}{\partial\theta}=-\bruch{bn}{\theta}+\bruch{b\sum_ix_{i}^{b}}{\theta^{b+1}}=0 [/mm] $
>  
> Jetzt nach $ [mm] \theta [/mm] $ auflösen, führt zu
>  
> $ [mm] \theta=\wurzel[b]{\bruch{\sum_ix_{i}^{b}}{n}} [/mm] $

Und das sieht dann aus wie die vorgegebene Lösung.

Vielen Dank für deine Mühe und Geduld.




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