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Forum "mathematische Statistik" - Max.-Likelihoood-Schätzung
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Max.-Likelihoood-Schätzung: Ansatz/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 So 05.07.2009
Autor: Torboe

Aufgabe
Die Schaltrelais einer Produktionsserie werden kurzzeitigen Belastungen ausgesetzt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein ein Relais der Serie eine Einzelbelastung nicht übersteht, sei p(0<p<1). Die Lebensdauer X eines Relais sei die Anzahl der überstandenen Belastungen. Die Untersuchung von 8 Relais der Serie ergab folgende Lebensdauer Werte:

120, 40, 10, 60, 10, 30, 20, 0

Man gebe eine Max. - Likelihood Schätzung für p an unter der Annahm, dass P(X=k) = [mm] p(1-p)^{k} [/mm] (geometrische Verteilung).

hallo.
mich würde mal interessieren, ob dieser rechenweg von mir stimmt:

X = X1, ..., Xn
P(X=k) = [mm] p*(1-p)^{k} [/mm]

Dichte: f(k) = F'(k) = [mm] p*k*(1-p)^{(k-1)} [/mm]

k1, ..., kn:
L(k1, ..., kn; p) = [mm] p*k1*(1-p)^{k1-1} [/mm] * ... * [mm] p*kn*(1-p)^{kn-1} [/mm] =
= p*k1* ... * kn * [mm] (1-p)^{(k1+...+kn+n)} [/mm]

logarithmieren:
Ln L = ln p + ln(k1*...*kn) + (k1+...+kn+n) * ln(1-p)

(ln L)' = 0 setzen:

[mm] \bruch{1}{p} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1-p} [/mm] * (k1+...+kn+n) = 0

[mm] \bruch{1}{1-p}*(k1+...+kn+n) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{p} [/mm]

(k1+....+kn+n)  = - [mm] \bruch{1-p}{p} [/mm]

p= [mm] -\bruch{1}{k1+...+kn+n} [/mm]

und jetzt noch für k1 = 120, k2 = 40, ... usw. einsetzen und ich bekommme p raus. hab ich richtig gerechnet?

danke shconmal für die antworT!!

        
Bezug
Max.-Likelihoood-Schätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 So 05.07.2009
Autor: luis52

Moin Torboe,

Irgendwie ist der Wurm in deiner Rechnung.  Fuer gegebene Beobachtungen
[mm] $k_1,\dots,k_n$ [/mm] lautet die Likelihoodfunktion

[mm] $L(p)=\prod_{i=1}^nf(k_i)=\prod_{i=1}^np(1-p)^{k_i}=p^n(1-p)^{\sum_{i=1}^nk_i}$ [/mm]

und folglich [mm] $\ln L(p)=n\ln [/mm] p+ [mm] \ln(1-p)\sum_{i=1}^nk_i$ \ldots [/mm]


vg Luis

PS: Bitte erstelle deine Anfragen mit etwas mehr Sorgfalt.    

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Max.-Likelihoood-Schätzung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 So 05.07.2009
Autor: Torboe

ok. vielen dank erstmal!! hat mir schonmal sehr geholfen!

wenn ich dann die aufgabe weitermache, muss ich dann schon ln L nach p ableiten, wie gewohnt? Sprich: [mm] \bruch{d}{dp} [/mm] ln L = 0.

[mm] \Rightarrow n*\bruch{1}{p}+\bruch{1}{1-p}*(k_{1}+...+k_{2})=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{1-p}k_{1}+...+k_{2}= -\bruch{n}{p} [/mm] :  [mm] \bruch{1}{1-p} [/mm]
[mm] \Rightarrow k_{1}+...+k_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{n*(1-p)}{p*1} [/mm]
[mm] \Rightarrow k_{1}+...+k_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{n-pn}{p} [/mm]

weiter komm ich leider nicht... . wie formt das weiter um?
aber zunächst mal, stimmt der weitere lösungsweg?

Bezug
                        
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Max.-Likelihoood-Schätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 So 05.07.2009
Autor: luis52


> ok. vielen dank erstmal!! hat mir schonmal sehr geholfen!

Gerne.

>  
> wenn ich dann die aufgabe weitermache, muss ich dann schon
> ln L nach p ableiten, wie gewohnt? Sprich: [mm]\bruch{d}{dp}[/mm] ln
> L = 0.
>  
> [mm]\Rightarrow n*\bruch{1}{p}+\bruch{1}{1-p}*(k_{1}+...+k_{2})=0[/mm]

[notok] Und wo bitte ist die innere Ableitung?

vg Luis

Bezug
                                
Bezug
Max.-Likelihoood-Schätzung: okey
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 So 05.07.2009
Autor: Torboe

abermals danke... . jaja wiedermal die sorgfalt.

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