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| Aufgabe | Bestimmen Sie Nullstellen, Maxima, Minima, Wendepunkte und gegebenenfalls Pole und Asymptoten der folgenden Funktionen und skizzieren Sie ihren Verlauf:
[mm] f(x) = x^{4} - 8x^{2} - 9[/mm]
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Hallo,
habe jetzt erst mal die Ableitungen:
[mm] f(x) = x^{4} - 8x^{2} - 9[/mm]
[mm] f´(x) = 4x^{3} - 16x[/mm]
[mm] f´´(x) = 12x^{2} - 16[/mm]
Nullstellen:
[mm] f(x) = x^{4} - 8x^{2} - 9 = 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow x = 3 [/mm]
Wie ist es hier jetzt mit der Polynomdivision, ist ja eine gerade Funktion:
[mm] (x^{4} - 8x^{2} - 9) / (x -3) = x^{3} [/mm]
[mm] (x^{4} - 3x^{3})[/mm]
komme mit den Exponenten hier nicht weiter, vielleicht kann mir jemand helfen?
Dann muss ich noch Maxima und Minima berechnen
Um Maxima und Minima zu bestimmen brauche ich jetzt den Wendepunkt?
Also die zweite Ableitung:
[mm] f´´(x) = 12x^{2} - 16[/mm]
dann bekomme ich [mm] x = \wurzel{\bruch{4}{3}}[/mm]
Was muss ich jetzt mit dem x-Wert machen? In die Ursprungs-Funktion einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Wozu willst du Polynomdivision machen?
Hier gehts mit Substitution:
x²=z
[mm] z^{2}-8z-9=0
[/mm]
Da kommt wegen raus z1= 9 z2=-1
Jetzt rücksubstituieren:
[mm] x^{2}= [/mm] 9
[mm] x^{2}= [/mm] -1
Wurzel ziehen... und du bekommst fü x einmal 3 und einmal -3 raus.
Für Extrema gilt f'(x)=0 (die zweite Abl. brauchst du erst für die Überprüfung ob es ein Hoch oder Tiefpunkt ist)
Du setzt also die 1.Ableitung =0
0= [mm] 4x^{3} [/mm] - 16x x ausklammern. beides einzeln gleich 0 setzen und so weiter...
Den Wert bzw. die Werte, die du hier rausbekommst, sind deine x-Werte der Extrema. Du musst jetzt jeden noch in die Ursprungsgleichung einsetzen, damit du auch den zugehörigen y-Wert bekommst.
Wenn du das gemacht hast, setzt du die x-Werte in die 2.Ableitung ein.
hinreichende Bedingung für einen HP ist f''(x-Wert)<0
für einen TP F''(x-Wert) >0
Wendepunkte berechnet man, indem man die zweite Ableitung =0 setzt...
LG
KErstin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie Nullstellen, Maxima, Minima, Wendepunkte und
> gegebenenfalls Pole und Asymptoten der folgenden Funktionen
> und skizzieren Sie ihren Verlauf:
> [mm]f(x) = x^{4} - 8x^{2} - 9[/mm]
>
>
> Hallo,
> habe jetzt erst mal die Ableitungen:
> [mm]f(x) = x^{4} - 8x^{2} - 9[/mm]
> [mm]f´(x) = 4x^{3} - 16x[/mm]
> [mm]f´´(x) = 12x^{2} - 16[/mm]
>
> Nullstellen:
> [mm]f(x) = x^{4} - 8x^{2} - 9 = 0[/mm]
> [mm]\Rightarrow x = 3[/mm]
der Folgepfeil ist logisch falsch, denn das hieße, dass [mm] $x^4-8x^2-9=0$ [/mm] implizierte, dass $x=3$ sein muss. Du meinst aber:
$x=3$ [mm] $\Rightarrow x^4-8x^2-9=0$, [/mm] d.h. $x=3$ ist eine Lösung der letztgenannten Gleichung.
> Wie ist
> es hier jetzt mit der Polynomdivision, ist ja eine gerade
> Funktion:
> [mm](x^{4} - 8x^{2} - 9) / (x -3) = x^{3}[/mm]
> [mm](x^{4} - 3x^{3})[/mm]
Das kann man rechnen:
[mm] $(x^4-8x^2-9):(x-3)=x^3+3x^2+(x+3)$
[/mm]
[mm] $-x^4+3x^3$
[/mm]
-----------------
[mm] .........$3x^3-8x^2-9$
[/mm]
[mm] .........$-3x^3+9x^2$
[/mm]
--------------------------
[mm] ...................$x^2-9$
[/mm]
Nun wiederum erkennt man, dass $x=-3$ eine Lösung der Gleichung
[mm] $x^3+3x^2+x+3=0$ [/mm] ist, also wäre z.B. der nächste Schritt:
Weitere Polynomdivision
[mm] $(x^3+3x^2+x+3):(x-(-3))$
[/mm]
bzw.
[mm] $(x^3+3x^2+x+3):(x+3)$
[/mm]
durchzuführen.
(Und wenn Du oben mal genau hingeguckt hättest, so würdest Du dort sofort sehen, dass auch $x=-3$ die Gleichung löst, also eine Nullstelle von $f$ ist. D.h. Du könntest dort direkt die Polynomdivision durchführen mittels
[mm] $(x^4-8x^2-9):(x^2-9)$
[/mm]
durchführen (beachte: [mm] $\frac{\frac{f(x)}{x-3}}{x-(-3)}=\frac{f(x)}{x^2-9}$) [/mm] und der Rest ist Dir dann klar, denke ich.)
Allerdings, wie bereits gesagt wurde, ist hier die Substitution [mm] $z=x^2$ [/mm] eine bessere Alternative und erspart diese unnötige Rechnerei mittels Polynomdivision 
Gruß,
Marcel
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