Maximale Eigenwerte stetig < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:18 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Move |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass der größte Realteil aller Eigenwerte einer Matrix oberhalbstetig ist.
[mm] \gamma : \IR^{n x n} -> \IR \gamma(A)=max{Re(\lambda):\lambda \in spec(A)} [/mm]
Eine Funktion [mm]f:M->\IR[/mm] auf einem metrischen Raum M ist oberhalbstetig in einem Punkt x [mm] \in [/mm] M, falls
für alle Epsilon größer Null ein Delta größer Null für alle y aus M existiert, sodass: [mm] d(x,y)<\delta \Rightarrow f(y)-f(x)<\epsilon [/mm] oder äquivalent, falls [mm] lim_{y \to x}f(y) \le f(x) [/mm]
Hinweis: Konstruieren Sie eine Folge von Paaren aus Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und Matrix A mit [mm] limA_{k}=A [/mm] und [mm]lim\lambda_{k}=\lambda [/mm] wobei [mm] Re(\lambda)=s [/mm]
|
Ich habe leider keine Idee, wie man diese Folge konstruieren soll. Ich schreibe hier mal meine Gedanken auf, die aber leider bruchstüchhaft rüberkommen und vll auch in die falsche Richtung gehen.
Erstmal habe ich Oberhalbstetigkeit so verstanden, dass es "nach rechts" keine Spungstellen geben darf.
Wahrscheinlich wird außerdem jede reelle Zahl als Eigenwert angenommen, weil man, wie ich irgendwo mal gehört habe, jede relle Zahl als Nullstelle eines Polynoms über IR dastellen kann.
Kann man vielleicht sogar zu jeder reellen Zahl ein charakteristisches Polynom konstruieren, das in Linearfaktoren zerfällt und diese Zahl als maximale Nullstelle hat? Dann wäre jede Matrix schon mal ähnlich zu einer JNF. Außerdem würde sich daraus sogar Stetigkeit ergeben (und nicht nur Oberhalbstetigkeit...). Wie man so eine Folge konstruiert, weiß ich aber nicht.
Wie ihr also vielleicht merkt, bin ich mit der Aufgabe überfordert....
Wenn jemand einen Tipp für mich hat, wäre ich sehr dankbar!
schönen Abend noch,
Move
|
|
| |
|
Hallo,
mich würde die Lösund dieser Aufgabe ebenfalls sehr interessieren.
Wie man diese Folge konstruieren könnte, weis ich leider auch nicht genau.
aber sicher könnte man doch zu einer reellen Zahl ein ch. polynom konstruieren:
z.B. a [mm] \in \IR [/mm] gegeben.
dann ist [mm] (a-x)^n [/mm] das charakteristische Polynom zu der Matrix
[mm] \pmat{ a & 0 & ... &0 \\ 0 & a & ... & 0 \\.....\\ 0 & 0 & ... & a }´\in \IR^{nxn}
[/mm]
oder nicht?
Aber warum folgt daraus unbedingt, dass f oberhalbstetig sein muss?
Gruß
|
|
|
| |
|
Eine Frage zum Verständnis:
im Hinweis steht, dass man eine Folge konstruieren soll.
Damit oberhalbstetigkeit gezeigt ist , muss doch aber gezeigt werden, dass zu jeder beliebigen Matrix B und jeder beliebigen Matrix-Folge mit GW B gilt limsup [mm] f(A_K)<=f(B) [/mm] oder??
wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 08.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 07.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
