Maximale Fläche 2 < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geg. f(x)= [mm] e^x(2-0,5x)
[/mm]
Für jedes u(uIR, 0<u<4) existiert ein Punkt Cu(u;f(u)).
Die Punkte A(−1; 0), B(4; 0) und Cu sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Cu so, dass der Flächeninhalt des
zugehörigen Dreiecks maximal wird.
Geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an.
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Hallo Zusammen!
Häng mal wieder an einer Aufgabe.
[mm] A=\bruch{1}{2}x*f(x) [/mm] oder muss ich hier schon den Punkt A(-1;0) berücksichtigen, also [mm] A=\bruch{1}{2}x+1*f(x) [/mm] , da er ja auf der negativen Seite der x-Achse liegt.
Dann davon die erste Ableitung und deren Nullstellen berechnen....
Danke + LG Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Geg. f(x)= [mm]e^x(2-0,5x)[/mm]
> Für jedes u(uIR, 0<u<4) existiert ein Punkt Cu(u;f(u)).
> Die Punkte A(−1; 0), B(4; 0) und Cu sind die
> Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie die Koordinaten des
> Punktes Cu so, dass der Flächeninhalt des
> zugehörigen Dreiecks maximal wird.
> Geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an.
>
> Hallo Zusammen!
>
> Häng mal wieder an einer Aufgabe.
>
> [mm]A=\bruch{1}{2}x*f(x)[/mm] oder muss ich hier schon den Punkt
> A(-1;0) berücksichtigen, also [mm]A=\bruch{1}{2}x+1*f(x)[/mm] , da
> er ja auf der negativen Seite der x-Achse liegt.
Hallo,
fang doch nicht gleich mit Formelkram an.
Du willst eine Dreiecksfläche berechnen, dazu brauchst du eine Grundseite und die darauf senkrecht stehende Höhe. Die Grundseite hat nicht die Länge x, auch nicht die Länge x+1, sondern die Länge 5 (Abstand der Punkte (-1|0) und (4|0).
Jetzt kannst du schauen, welche Höhe die maximale ist.
Viele Grüße
Abaus
>
> Dann davon die erste Ableitung und deren Nullstellen
> berechnen....
>
> Danke + LG Markus
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Hallo Abakus!
Danke Dir für Deine Antwort.
Gerechnet hatte ich für maximale [mm] A=\bruch{1}{2}x*f(x) [/mm] = [mm] e^x (x-\bruch{1}{4}x^2) [/mm] ,
f'(x)= u'*v+u*v' [mm] ;u'=e^x ;v'=1-\bruch{1}{2}x
[/mm]
f'(x)= [mm] e^x (-\bruch{1}{4}x^2+\bruch{1}{2}x+1) [/mm]
Als Nullstellen hab ich [mm] x_1=1-\wurzel{5} [/mm] und [mm] x_2=1+\wurzel{5} =\approx. [/mm] 3,2361
f(3,2361)= 9,7146 (als max. Höhe)
Dann in [mm] A=\bruch{1}{2}*5*9,7146=24,2865 [/mm] F.E.
Stimmt das? Danke + LG Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus!
Deine Flächenfunktion ist falsch. Wie Schachuzipus bereits schriebe, muss sie lauten:
[mm] $$A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}g*h_g [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(x_B-x_A\right)*f(u) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*[4-(-1)]*f(u) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{2}*f(u) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{2}*e^x*(2-0.5x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Danke Loddar!
Ich weiß, das ist bestimmt total simpel, aber da passieren bei mir immer die gleichen Fehler....Algebraische Grundübungen / Termumformungen....
Hab den Term [mm] \bruch{5}{2}*e^x*(2-0.5x) [/mm] multipliziert und umgestellt zu [mm] e^x*(5-\bruch{5}{4}x)
[/mm]
Stimmt das? Wenn nicht, worin liegt der Fehler?
Danke + LG Markus
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Hallo,
ich glaube du hast noch keine Skizze, also folgendes Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grundseite: 5 Längeneinheiten
Höhe: f(u)
[mm] A=\bruch{1}{2}*5*e^{x}*(2-0,5x)
[/mm]
der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und die Grundseite mit der Länge 5 stehen fest, damit das Dreieck maximale Fläche hat, muß die Höhe maximal werden, also erste Ableitung von
[mm] f(x)=e^{x}*(2-0,5x)
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{x}*(2-0,5x)+e^{x}*(-0,5) [/mm] mit Produktregel
[mm] f'(x)=e^{x}*(2-0,5x-0,5)
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{x}*(1,5-0,5x)
[/mm]
[mm] 0=e^{x}*(1,5-0,5x)
[/mm]
der Faktor [mm] e^{x} [/mm] kann nicht Null werden, also 1,5-0,5x=0 somit x=3, das bedeutet, an der Stelle x=3 ist die Höhe maximal, berechne jetzt f(3), dann kannst du auch die Fläche des Dreiecks berechnen,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Danke Dir Steffi!
War ja auch zu einfach um wahr zu sein ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") .... hatte bei meinen letzten Aufgaben ähnliche zu bearbeiten und hatte dem erst eingeschlagenen Lösungsweg zu folgen. Also Danke nochmal.
Wenn ich aber hätte umformen müssen, hätte das dann gepasst?
Danke + LG Markus
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Hallo,
deine Umformung war vorhin korrekt, du mußt aber auch dann eine Extremwertbetrachtung machen, sprich Nullstelle der 1. Ableitung, aber auch dann erhälst du x=3,
Steffi
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