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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Fr 27.02.2009 | | Autor: | hofmanpa |
| Aufgabe | Für jedes a [mm] \in \IR [/mm] ist die Funktion [mm] f_{a} [/mm] gegeben durch
[mm] f_{a}(x)=e^{ax-x^{2}} [/mm] mit x [mm] \in \IR
[/mm]
Das Schaubild von [mm] f_{a} [/mm] heißt [mm] K_{a}.
[/mm]
Die Gerade mit der Gleichung x=u mit u>0 schneidet die x-Achse im Punkt P und [mm] K_{0} [/mm] im Punkt Q. Mit diesen Punkten wird ein Rechteck PQRS gebildet, wobei R auf [mm] K_{0} [/mm] und S auf der x-Achse liegt.
Wie groß kann der Flächeninhalt dieses Rechtecks höchstens werden? |
Ich habe diese Frage mit einem Freund von mir durchgerechnet, wie folgt:
Da es sich bei Fläche um ein Rechteck handelt und die Funktion achsensymetrisch ist, haben wir als Fläche [mm] A=2u*f_{0}(u).
[/mm]
So weit ist mir das Ganze noch klar, doch dann haben wir weiter gerechnet:
Wir haben die erste Ableitung der Fläche A'(u) = 0 gesetzt und unseren Taschenrechner nach u lösen lassen. Als Ergebnis haben wir [mm] u_{1}=\bruch{-\wurzel{2}}{2} [/mm] und [mm] u_{2}=\bruch{\wurzel{2}}{2}. [/mm] Wir haben [mm] u_{2} [/mm] in A(u) eingesetzt und als Fläche A=0,85 FE erhalten.
Er hat die vorgehensweise von seiner Nachhilfe, versteht es aber auch nicht ganz.
Nun habe ich dazu 2 Fragen:
1. Ich verstehe nicht, warum wir die erste Ableitung von A(u) dabei nehmen sollen.
2. Da die Fläche achsensymetrisch und ein Rechteck ist, ist die Herleitung der Formel einfach. Aber gibt es das ganze auch als allgemeine Formel für die Fläche in Abhängigkeit vom Maximum?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Fr 27.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für jedes a [mm]\in \IR[/mm] ist die Funktion [mm]f_{a}[/mm] gegeben durch
> [mm]f_{a}(x)=e^{ax-x^{2}}[/mm] mit x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Das Schaubild von [mm]f_{a}[/mm] heißt [mm]K_{a}.[/mm]
>
> Die Gerade mit der Gleichung x=u mit u>0 schneidet die
> x-Achse im Punkt P und [mm]K_{0}[/mm] im Punkt Q. Mit diesen Punkten
> wird ein Rechteck PQRS gebildet, wobei R auf [mm]K_{0}[/mm] und S
> auf der x-Achse liegt.
> Wie groß kann der Flächeninhalt dieses Rechtecks höchstens
> werden?
> Ich habe diese Frage mit einem Freund von mir
> durchgerechnet, wie folgt:
>
> Da es sich bei Fläche um ein Rechteck handelt und die
> Funktion achsensymetrisch ist, haben wir als Fläche
> [mm]A=2u*f_{0}(u).[/mm]
> So weit ist mir das Ganze noch klar, doch dann haben wir
> weiter gerechnet:
>
> Wir haben die erste Ableitung der Fläche A'(u) = 0 gesetzt
> und unseren Taschenrechner nach u lösen lassen. Als
> Ergebnis haben wir [mm]u_{1}=\bruch{-\wurzel{2}}{2}[/mm] und
> [mm]u_{2}=\bruch{\wurzel{2}}{2}.[/mm] Wir haben [mm]u_{2}[/mm] in A(u)
> eingesetzt und als Fläche A=0,85 FE erhalten.
>
> Er hat die vorgehensweise von seiner Nachhilfe, versteht es
> aber auch nicht ganz.
>
> Nun habe ich dazu 2 Fragen:
> 1. Ich verstehe nicht, warum wir die erste Ableitung von
> A(u) dabei nehmen sollen.
gesucht ist doch ein [mm] u_0 [/mm] > 0 mit A(u) [mm] \le A(u_0) [/mm] für jedes u>0 , also das absolute Maximum von A. Da A eine differenzierbare Funktion von u ist, gilt
[mm] A'(u_0) [/mm] = 0
> 2. Da die Fläche achsensymetrisch und ein Rechteck ist,
> ist die Herleitung der Formel einfach. Aber gibt es das
> ganze auch als allgemeine Formel für die Fläche in
> Abhängigkeit vom Maximum?
Diese Frage verstehe ich nicht.
FRED
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Fr 27.02.2009 | | Autor: | hofmanpa |
Sollten die Werte dabei nicht aber ein Maximum, für die maximale Fläche sein? Wenn ich die Werte in die 2te Ableitung [mm] A''(u_{1}) [/mm] oder [mm] A''(u_{2}) [/mm] dann erhalte ich beide Male als Ergebnis 0. Für ein Maximum müsste die zweite Ableitung dann aber doch [mm] \not= [/mm] bzw. < 0 sein?
Zu Frage 2: Wenn die Fläche z.B. kein Rechteck wäre, oder die Funktion nicht achsensymetrisch. Ob es dafür einen allgemeinen Lösungsansatz gibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Fr 27.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sollten die Werte dabei nicht aber ein Maximum, für die
> maximale Fläche sein? Wenn ich die Werte in die 2te
> Ableitung [mm]A''(u_{1})[/mm] oder [mm]A''(u_{2})[/mm] dann erhalte ich beide
> Male als Ergebnis 0.
Ich nicht. Rechne nochmal nach ! Es ist [mm] A''(\bruch{\wurzel{2}}{2}) [/mm] < 0
> Für ein Maximum müsste die zweite
> Ableitung dann aber doch [mm]\not=[/mm] bzw. < 0 sein?
In obigem Fall ist das auch so. im allg. ist es aber nicht so. z.B hat die Funktion $f(x) = [mm] -x^4$ [/mm] in 0 ein Maximum, aber $f''(0) = 0$
FRED
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> Zu Frage 2: Wenn die Fläche z.B. kein Rechteck wäre, oder
> die Funktion nicht achsensymetrisch. Ob es dafür einen
> allgemeinen Lösungsansatz gibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Fr 27.02.2009 | | Autor: | hofmanpa |
Ich weiß wo mein Fehler liegt. Ich habe die Ableitungsfunktionen in meinen GTR vordefiniert, allerdings für x.
Danke für die schnelle Hilfe, ketzt kann ich es besser nachvollziehen!
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