Maximaler Gewinn < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Di 16.02.2016 | | Autor: | Canibus |
| Aufgabe | Ein Monopolist stelle die Güter [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] her. Die Preis-Absatz-Funktionen für beide Güter seien
[mm] x_{1} [/mm] = 20 - [mm] 4p_{1} [/mm] + [mm] 2p_{2} [/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = 10 + [mm] p_{1} [/mm] - [mm] p_{2},
[/mm]
wobei [mm] p_{i} [/mm] der Preis für das Gut [mm] X_{i} [/mm] ist mit i=1,2.
Die Gesamtkostenfunktion laute:
K = [mm] 1,5x_{1}^{2} [/mm] + [mm] 2x_{2}^{2} [/mm] + [mm] 0,5x_{1}x_{2}
[/mm]
Man bestimme den maximalen Gewinn G und den ihm zugrundeliegenden Output [mm] x_{1}, x_{2}. [/mm] |
Ansatz
Gewinn = Umsatz - Kosten
[mm] G(x_{1}) [/mm] + [mm] G(x_{2}) [/mm] = [mm] U(x_{1}) [/mm] + [mm] U(x_{2}) [/mm] - K
[mm] G(x_{1}, x_{2}) [/mm] = 20 - [mm] 4p_{1} [/mm] + [mm] 2p_{2} [/mm] + (10 + [mm] p_{1} [/mm] - [mm] p_{2}) [/mm] - K = 30 - [mm] 3p_{1} [/mm] + [mm] p_{2} [/mm] - K
[mm] G_{x_{1}} [/mm] = [mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 0,5x_{2}
[/mm]
[mm] G_{x_{2}} [/mm] = [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] 0,5x_{1}
[/mm]
Nach Anwendung der notw. Bedingung komme ich auf [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] = 0. Deswegen gehe ich mal davon aus, dass mein Ansatz falsch ist.
Warum ist mein Ansatz falsch? Was wäre der richtige Ansatz?
Vielen Dank im Voraus schonmal für eure Hilfe!
Mit freundlichen Grüßen,
Canibus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
du ignorierst völlig, dass die [mm] x_i [/mm] von den [mm] p_i [/mm] abhängen und umgekehrt.
> [mm]G(x_{1}, x_{2})[/mm] = 20 - [mm]4p_{1}[/mm] + [mm]2p_{2}[/mm] + (10 + [mm]p_{1}[/mm] -
> [mm]p_{2})[/mm] - K = 30 - [mm]3p_{1}[/mm] + [mm]p_{2}[/mm] - K
Das ist soweit richtig.
> [mm]G_{x_{1}}[/mm] = [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]0,5x_{2}[/mm]
> [mm]G_{x_{2}}[/mm] = [mm]4x_{2}[/mm] + [mm]0,5x_{1}[/mm]
und das ist falsch, denn du tust so, als wären die [mm] p_i [/mm] konstanten, die nicht von [mm] x_1 [/mm] bzw [mm] x_2 [/mm] abhängen und damit beim Differenzieren wegfallen.
Dass dem offensichtlich nicht so ist, kannst du sehen, wenn du die Umsatzfunktionen als [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] stehen lässt, anstatt sie einzusetzen.
Du hast nämlich korrekt erkannt:
> [mm] $G(x_{1}, x_{2}) [/mm] = 20 [mm] -4p_{1} [/mm] + [mm] 2p_{2}+ [/mm] (10 [mm] +p_{1} [/mm] - [mm] p_{2}) [/mm] - [mm] K(x_1,x_2)$
[/mm]
Oder zusammengefasst eben:
[mm] $G(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] x_1+ x_2 [/mm] - [mm] K(x_1,x_2)$
[/mm]
So bist du ja auch auf die Gewinnfunktion gekommen.
Und wenn du das nun partiell ableitest, kommst du auch auf eine andere Lösung.
edit: Du könntest natürlich auch konsequent überall für die [mm] x_i [/mm] die zugehörigen Gleichungen einsetzen, so dass nur noch [mm] $p_i$'s [/mm] vorkommen und den Ausdruck dann für die [mm] $p_i$'s [/mm] lösen.
Das kommt dann letztendlich aufs selbe heraus. Aber ein Mischmasch aus [mm] $p_i$'s [/mm] und [mm] $x_i$'s [/mm] funktioniert eben nicht.
Gruß,
Gono
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:48 Di 16.02.2016 | | Autor: | Canibus |
| Aufgabe | > Hiho,
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> du ignorierst völlig, dass die [mm]x_i[/mm] von den [mm]p_i[/mm] abhängen und umgekehrt.
> > [mm]G(x_{1}, x_{2})[/mm] = 20 - [mm]4p_{1}[/mm] + [mm]2p_{2}[/mm] + (10 + [mm]p_{1}[/mm] - [mm]p_{2})[/mm] - K = 30 - [mm]3p_{1}[/mm] + [mm]p_{2}[/mm] - K
>
> Das ist soweit richtig.
>
> > [mm]G_{x_{1}}[/mm] = [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]0,5x_{2}[/mm]
> > [mm]G_{x_{2}}[/mm] = [mm]4x_{2}[/mm] + [mm]0,5x_{1}[/mm]
>
> und das ist falsch, denn du tust so, als wären die [mm]p_i[/mm] konstanten, die nicht von [mm]x_1[/mm] bzw [mm]x_2[/mm] abhängen und damit beim Differenzieren wegfallen.
> Dass dem offensichtlich nicht so ist, kannst du sehen, wenn du die Umsatzfunktionen als [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] stehen lässt, anstatt sie einzusetzen.
>
> Du hast nämlich korrekt erkannt:
> > [mm]G(x_{1}, x_{2}) = 20 -4p_{1} + 2p_{2}+ (10 +p_{1} - p_{2}) - K(x_1,x_2)[/mm]
>
> Oder zusammengefasst eben:
> [mm]G(x_{1}, x_{2}) = x_1+ x_2 - K(x_1,x_2)[/mm]
>
> So bist du ja auch auf die Gewinnfunktion gekommen. Und wenn du das nun partiell ableitest, kommst du auch auf eine andere Lösung.
>
> edit: Du könntest natürlich auch konsequent überall für die [mm]x_i[/mm] die zugehörigen Gleichungen einsetzen, so dass nur noch [mm]p_i[/mm]'s vorkommen und den Ausdruck dann für die [mm]p_i[/mm]'s lösen. Das kommt dann letztendlich aufs selbe heraus. Aber ein Mischmasch aus [mm]p_i[/mm]'s und [mm]x_i[/mm]'s funktioniert eben nicht.
>
> Gruß,
> Gono
> |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort, Gono. Die Abhängigkeit der Variablen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] war mir in der Form nicht bewusst. Wenn ich dich richtig verstanden habe, könnte man also auch [mm] G(p_1, p_2) [/mm] berechnen.
[mm] G(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] x_1+ x_2 [/mm] - [mm] K(x_1,x_2)
[/mm]
[mm] G_x__1 [/mm] = 1 - [mm] 3x_1 [/mm] - [mm] 0,5x_2
[/mm]
[mm] G_x__2 [/mm] = 1 - [mm] 4x_2 [/mm] - [mm] 0,5x_1
[/mm]
[mm] G_x__1 [/mm] = 0
[mm] \gdw x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}x_2
[/mm]
[mm] G_x__2 [/mm] = 0
[mm] \gdw x_2 [/mm] = [mm] \bruch{10}{47}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] \bruch{14}{47}
[/mm]
Prüfung auf Maximum
G'' = [mm] \pmat{ -3 & -0,5 \\ -0,5 & -4 }
[/mm]
(det(G'') = [mm] \bruch{47}{4}) \wedge (G_x__1x__1 [/mm] < 0)
[mm] \Rightarrow [/mm] Maximum liegt vor!
Gewinn berechnen
[mm] G(\bruch{14}{47}, \bruch{10}{47}) \approx [/mm] 0,26
_______________________________
1) Sehr krummes Ergebnis...
2) Da [mm] x_1, x_2 \in \IN [/mm] hier nicht vorgegeben ist, kann ich das Ergebnis so stehen lassen?
Mit freundlichen Grüßen,
Canibus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Di 16.02.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
lies mal Angelas Korrekturmitteilung, die hat durchaus ihre Berechtigung 
Gruß,
Gono
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> Hiho,
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> du ignorierst völlig, dass die [mm]x_i[/mm] von den [mm]p_i[/mm] abhängen
> und umgekehrt.
Hallo Gonozal,
meinem Verständnis nach sind [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] Funktionen in Abhängigkeit von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2, [/mm] die die Absatzmengen von [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] angeben.
Dementsprechend sind die Umsätze [mm] U_i=x_i*p_i,
[/mm]
was natürlich eine andere Gewinnfunktion ergibt.
LG Angela
>
> > [mm]G(x_{1}, x_{2})[/mm] = 20 - [mm]4p_{1}[/mm] + [mm]2p_{2}[/mm] + (10 + [mm]p_{1}[/mm] -
> > [mm]p_{2})[/mm] - K = 30 - [mm]3p_{1}[/mm] + [mm]p_{2}[/mm] - K
>
> Das ist soweit richtig.
>
> > [mm]G_{x_{1}}[/mm] = [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]0,5x_{2}[/mm]
> > [mm]G_{x_{2}}[/mm] = [mm]4x_{2}[/mm] + [mm]0,5x_{1}[/mm]
>
> und das ist falsch, denn du tust so, als wären die [mm]p_i[/mm]
> konstanten, die nicht von [mm]x_1[/mm] bzw [mm]x_2[/mm] abhängen und damit
> beim Differenzieren wegfallen.
> Dass dem offensichtlich nicht so ist, kannst du sehen,
> wenn du die Umsatzfunktionen als [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] stehen lässt,
> anstatt sie einzusetzen.
>
> Du hast nämlich korrekt erkannt:
> > [mm]G(x_{1}, x_{2}) = 20 -4p_{1} + 2p_{2}+ (10 +p_{1} - p_{2}) - K(x_1,x_2)[/mm]
>
> Oder zusammengefasst eben:
> [mm]G(x_{1}, x_{2}) = x_1+ x_2 - K(x_1,x_2)[/mm]
>
> So bist du ja auch auf die Gewinnfunktion gekommen.
> Und wenn du das nun partiell ableitest, kommst du auch auf
> eine andere Lösung.
>
> edit: Du könntest natürlich auch konsequent überall für
> die [mm]x_i[/mm] die zugehörigen Gleichungen einsetzen, so dass nur
> noch [mm]p_i[/mm]'s vorkommen und den Ausdruck dann für die [mm]p_i[/mm]'s
> lösen.
> Das kommt dann letztendlich aufs selbe heraus. Aber ein
> Mischmasch aus [mm]p_i[/mm]'s und [mm]x_i[/mm]'s funktioniert eben nicht.
>
> Gruß,
> Gono
>
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 14:28 Di 16.02.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Angela,
da könntest du durchaus recht mit haben
Danke für die Korrektur.
Gruß,
Gono
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> Ein Monopolist stelle die Güter [mm]X_{1}[/mm] und [mm]X_{2}[/mm] her. Die
> Preis-Absatz-Funktionen für beide Güter seien
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 20 - [mm]4p_{1}[/mm] + [mm]2p_{2}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = 10 + [mm]p_{1}[/mm] - [mm]p_{2},[/mm]
>
> wobei [mm]p_{i}[/mm] der Preis für das Gut [mm]X_{i}[/mm] ist mit i=1,2.
Hallo,
die Preis-Absatz-Funktion gibt doch an, welche Menge der Güter [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] bei den Preisen [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] abgesetzt werden.
Es sind [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] Funktionen, die von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] abhängen:
[mm] x_1(p_1,p_2)=20 [/mm] - [mm]4p_{1}[/mm] + [mm] 2p_{2}
[/mm]
[mm] x_2(p_1,p_2)=10 [/mm] + [mm]p_{1}[/mm] [mm] -p_{2}.
[/mm]
Es ist
Umsatz="Menge*Preis",
also
[mm] U_1(p_1,p_2)=x_1(p_1,p_2)*p_1,
[/mm]
[mm] U_2(p_1,p_2)=x_2(p_1,p_2)*p_2.
[/mm]
Jetzt würde ich K in Abhängigkeit von [mm] p_1, p_2 [/mm] darstellen, dann die Gewinnfunktion [mm] G(p_1,p_2) [/mm] aufstellen und loslegen.
Oder Du eroberst Dir halt aus
> [mm]x_{1}[/mm] = 20 - [mm]4p_{1}[/mm] + [mm]2p_{2}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = 10 + [mm]p_{1}[/mm] - [mm]p_{2},[/mm]
die Funktionen
[mm] p_1(x_1,x_2) [/mm] und [mm] p_2(x_1,x_2) [/mm] und stellst dann die Funktionen U, G in Abhängigkeit von [mm] x_1, x_2 [/mm] dar.
LG Angela
> Die Gesamtkostenfunktion laute:
>
> K = [mm]1,5x_{1}^{2}[/mm] + [mm]2x_{2}^{2}[/mm] + [mm]0,5x_{1}x_{2}[/mm]
>
> Man bestimme den maximalen Gewinn G und den ihm
> zugrundeliegenden Output [mm]x_{1}, x_{2}.[/mm]
> Ansatz
>
> Gewinn = Umsatz - Kosten
> [mm]G(x_{1})[/mm] + [mm]G(x_{2})[/mm] = [mm]U(x_{1})[/mm] + [mm]U(x_{2})[/mm] - K
> [mm]G(x_{1}, x_{2})[/mm] = 20 - [mm]4p_{1}[/mm] + [mm]2p_{2}[/mm] + (10 + [mm]p_{1}[/mm] -
> [mm]p_{2})[/mm] - K = 30 - [mm]3p_{1}[/mm] + [mm]p_{2}[/mm] - K
>
> [mm]G_{x_{1}}[/mm] = [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]0,5x_{2}[/mm]
> [mm]G_{x_{2}}[/mm] = [mm]4x_{2}[/mm] + [mm]0,5x_{1}[/mm]
>
> Nach Anwendung der notw. Bedingung komme ich auf [mm](x_{1}, x_{2})[/mm]
> = 0. Deswegen gehe ich mal davon aus, dass mein Ansatz
> falsch ist.
>
> Warum ist mein Ansatz falsch? Was wäre der richtige
> Ansatz?
>
> Vielen Dank im Voraus schonmal für eure Hilfe!
>
> Mit freundlichen Grüßen,
> Canibus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Di 16.02.2016 | | Autor: | Canibus |
Hallo Angela!
So wie von dir beschrieben sah mein zweiter Ansatz aus, nachdem ich beim ersten Versuch [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = 0 als Output für den maximalen Gewinn rausbekommen hatte. Weil ich aber die Abhängigkeiten nicht beachtet hatte, kam ein völlig falsches Ergebnis heraus, weswegen ich den Ansatz dann wieder verworfen habe. Hier jetzt aber nochmal die neue (und anscheinend wieder falsche) Rechnung:
[mm] x_1(p_1, p_2) [/mm] = 20 - [mm] 4p_1 [/mm] + [mm] 2p_2
[/mm]
[mm] x_2(p_1, p_2) [/mm] = 10 + [mm] p_1 [/mm] - [mm] p_2
[/mm]
K = [mm] 1,5x_1^2 [/mm] + [mm] 2x_2^2 [/mm] + [mm] 0,5x_1x_2
[/mm]
Gewinn G = Umsatz - Kosten = [mm] U(x_1) [/mm] + [mm] U(x_2) [/mm] - K = [mm] x_1(p_1, p_2)*p_1 [/mm] + [mm] x_2(p_1, p_2)*p_2 [/mm] - K
Nach Einsetzen ergibt sich:
[mm] G(p_1, p_2) [/mm] = [mm] 20p_1 [/mm] - [mm] 4p_1^2 [/mm] + [mm] 3p_1p_2 [/mm] + [mm] 10p_2 [/mm] - [mm] p_2^2 [/mm] - [mm] K(p_1, p_2)
[/mm]
Einsetzen der Absätze [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] in K ergibt:
[mm] K(p_1, p_2) [/mm] = 900 - [mm] 210p_1 [/mm] + [mm] 80p_2 [/mm] + [mm] 24p_1^2 [/mm] - [mm] 25p_1p_2 [/mm] + [mm] 7p_2^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow G(p_1, p_2) [/mm] = 900 - [mm] 190p_1 [/mm] + [mm] 90p_2 [/mm] + [mm] 20p_1^2 [/mm] - [mm] 22p_1p_2 [/mm] + [mm] 6p_2^2 [/mm]
Finden der Preise für [mm] max(G(p_1, p_2)) [/mm]
[mm] G_p__1 [/mm] = -190 + [mm] 40p_1 [/mm] - [mm] 22p_2
[/mm]
[mm] G_p__2 [/mm] = 90 - [mm] 22p_1 [/mm] + [mm] 12p_2
[/mm]
[mm] G_p__1 [/mm] = 0
[mm] \gdw p_1 [/mm] = [mm] \bruch{19}{4} [/mm] + [mm] \bruch{11}{20}p_2
[/mm]
[mm] G_p__2 [/mm] = 0
[mm] \gdw p_2 [/mm] = [mm] \bruch{29}{2} \hat= [/mm] 14,5 GE
[mm] \Rightarrow p_1 [/mm] = [mm] \bruch{509}{40} \hat= [/mm] 12,725 GE
Liegt tatsächlich ein Minimum vor?
G'' = [mm] \pmat{ 40 & -22 \\ -22 & 40 }
[/mm]
[mm] H_1 [/mm] = 40
[mm] H_2 [/mm] = 1116
G'' ist positiv definit, es liegt also ein Minimum vor!
Optimalen Gewinn berechnen
[mm] G(\bruch{29}{2}, \bruch{509}{40}) [/mm] = 29374,60 GE
bei einem Output von [mm] x_1 [/mm] = -1,9 und [mm] x_2 [/mm] = 8,225
Aaaaaargh...
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Hiho,
> [mm]G_p__1[/mm] = -190 + [mm]40p_1[/mm] - [mm]22p_2[/mm]
> [mm]G_p__2[/mm] = 90 - [mm]22p_1[/mm] + [mm]12p_2[/mm]
bis hierhin passt das.
Deine Lösungen für [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] stimmen aber nicht.
Zur Kontrolle: Ich komme auf [mm] $p_1 [/mm] = -75, [mm] p_2 [/mm] = -145$
> Liegt tatsächlich ein Minimum vor?
Du willst doch den maximalen Gewinn berechnen....
> G'' = [mm]\pmat{ 40 & -22 \\ -22 & 40 }[/mm]
Auch das stimmt nicht. Wie kommst du auf die zweite 40 auf der Diagonalen?
Gruß,
Gono
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