Maximales Lösungsintervall < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:32 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | [mm] x'=t+\wurzel{1+x^2}, [/mm] x(0)=1.
Bestimmen sie das maximale Lösungsintervall des AWPs. |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe in einer Altklausur zur Vorlesung "Gewöhnliche Differenzialgleichungen" gefunden und weiß nicht so richtig, was ich damit anfangen soll.
Wird hier erwartet, dass man die Aufgabe mit dem Satz von Picard-Lindelöf angeht? Picard-Lindelöf garantiert mir jedoch nicht das größte Lösungsintervall. Und ich weiß auch nicht, wie ich die Aufgabe mit "herkömmlichen" Methoden lösen soll (was wahrscheinlich auch gar nicht verlangt wird)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]x'=t+\wurzel{1+x^2},[/mm] x(0)=1.
> Bestimmen sie das maximale Lösungsintervall des AWPs.
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgabe in einer Altklausur zur Vorlesung
> "Gewöhnliche Differenzialgleichungen" gefunden und weiß
> nicht so richtig, was ich damit anfangen soll.
> Wird hier erwartet, dass man die Aufgabe mit dem Satz von
> Picard-Lindelöf angeht? Picard-Lindelöf garantiert mir
> jedoch nicht das größte Lösungsintervall. Und ich weiß
> auch nicht, wie ich die Aufgabe mit "herkömmlichen"
> Methoden lösen soll (was wahrscheinlich auch gar nicht
> verlangt wird)
Wir setzen [mm] f(t,x)=t+\wurzel{1+x^2}.
[/mm]
Zeige: (*) $|f(t,x)-f(t,z)| [mm] \le [/mm] |x -z|$ für alle t,x,z [mm] \in \IR.
[/mm]
Ist nun I irgendein Intervall in [mm] \IR [/mm] mit 0 [mm] \in [/mm] I, so besagt, wegen (*), der Satz von Picard-Lindelöf was ?
Da I beliebig war, folgt was ?
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:42 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Physy |
es ist [mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{1+x^2}}, [/mm] also existent und beschränkt auf ganz [mm] \IR, [/mm] also ist die Lipschitzbedingung erfüllt. das Supremum ergibt sich für x=0, also 0,5. Die DGL besitzt dann eine eindeutige Lösung X(t) auf [0;q) mit q=min(r;2s). Wir können r,s aber beliebig groß wählen, also t [mm] \in [/mm] [0;unendlich). Stimmt das so?
Mir stellt sich nur die frage, ob es noch ein größeres Lösungsintervall geben könnte. Ich meine P.L. garantiert mir ja nur ein Lösungsintervall. Dieses muss aber doch nicht das "maximale" sein, wie es in der aufgabenstellung gefordert wird.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:24 Do 14.06.2012 | | Autor: | Physy |
Tut mir leid, das mit dem Supremum war natürlich quatsch. Je nachdem wie ich meine Intervallgrenzen wähle, erhalte ich ein anderes Lösungsintervall. Ich weiß aber nicht so richtig, wie ich dann auf das maximale Lösungsintervall komme.
Und die tatsache dass mir Picard-Lindelöf nur irgendein Lösungsintervall garantiert und nicht das größte, bleibt ja auch noch offen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Do 14.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
kann es ein größeres Lösungsintervall geben als [mm] \IR?
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Do 14.06.2012 | | Autor: | Physy |
Picard-Lindelöf liefert doch nur das Intervall [0;unendlich). Es könnte doch noch sein, dass auch ein negativer Definitionsbereich zulässig ist, oder?
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Hallo Physy,
> Picard-Lindelöf liefert doch nur das Intervall
> [0;unendlich). Es könnte doch noch sein, dass auch ein
> negativer Definitionsbereich zulässig ist, oder?
Ja, das ist mit [mm]\IR[/mm] schon abgedeckt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Do 14.06.2012 | | Autor: | Physy |
Wie lautet da denn deine Argumentation?
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Hallo Physy,
> Wie lautet da denn deine Argumentation?
Die Integration der homogenen DGL liefert eine Gleichung.
die für alle x und t definiert ist.
Gruss
MathePower
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