Maximales Schachtelvolumen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Aus einem rechteckigen Stück Pappe von 42 cm Länge und 30 cm Breite soll eine oben offene Schchtel hergestellt werden.Dazu wir an jeder der vier Ecken ein Quadrat abgeschnitten.Anschließend werden die überstehenden Streifen hochgeklappt.Wie groß müssen die Quadrate sein,damit das Volumen der Schachtel maximal wird?? |
Hallo^^
Ich versuch grad die Aufgabe zu lösen,komm aber nicht weiter,kann mir jemand helfen???
ALso ich hab mal die Bedingungen aufgestellt
HB: A(a,b)=a*b
NB:U=2a+2b
U=144-8x (x ist die Länge einer Quadratseite)
[mm] x=\bruch{144-U}{8}
[/mm]
Bis hierhin bin ich gekommen,hat jemand vieleicht nen kleinen Denkanstoß für mich ??
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Bild
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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Hallo Mandy_90
> (Mandy_90:)
> Aus einem rechteckigen Stück Pappe von 42 cm Länge und 30
> cm Breite soll eine oben offene Schchtel hergestellt
> werden.Dazu wir an jeder der vier Ecken ein Quadrat
> abgeschnitten.Anschließend werden die überstehenden
> Streifen hochgeklappt.Wie groß müssen die Quadrate
> sein,damit das Volumen der Schachtel maximal wird??
> ALso ich hab mal die Bedingungen aufgestellt
> HB: A(a,b)=a*b
<------- was genau bezeichnest du mit a, b und A ?
> NB:U=2a+2b
> U=144-8x (x ist die Länge einer Quadratseite)
>
> [mm]x=\bruch{144-U}{8}[/mm]
bis hierher alles richtig, nur nicht alles sehr nützlich !
beispielsweise die Umfänge bringen dich hier nicht weiter
> Bis hierhin bin ich gekommen,hat jemand vieleicht nen
> kleinen Denkanstoß für mich ??
Weil das VOLUMEN der Schachtel maximal werden soll, musst du das Volumen
mit Hilfe der vorhandenen Buchstaben (die jeweils für Streckenlängen stehen)
darstellen:
V = .........
Nachher geht es darum, von den Variablen, die rechts noch vorkommen, einige
einzusparen. Eine dieser Nebenbedingungen lautet zum Beispiel
a + 2 x = 42 (warum?)
Wenn du auf diese Weise weiter überlegst, kommst du zur "Zielfunktion":
V(x) = ........... (auf der rechten Seite kein a,kein b, nur noch x)
Für's erste mal so viel...
Gruß Al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay, ist dann V=(42-2x)*(30-x)*x ??
x ist die Länge eines Stücks,das an der Seite abgeschnitten ist.
Und a+2x=42 ist weil man ja an der Seite die 2 Stücke dazunimmt und die gesamte Länge =42 ist ?
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> okay, ist dann V=(42-2x)*(30-x)*x ?? ( ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") )
auch im zweiten Faktor: nicht (30-x) sondern (30-2x) !
> x ist die Länge eines Stücks,das an der Seite
> abgeschnitten ist.
ja, und x ergibt auch die Höhe der Schachtel, wie du schon gesehen hast
> Und a+2x=42 ist weil man ja an der Seite die 2 Stücke
> dazunimmt und die gesamte Länge =42 ist ?
genau, aber ebenso in der Richtung quer dazu
ja, und dann also weiter zu Differenzialrechnung
mach dir aber gerade noch klar (und notiere es!), welche Werte für
das x überhaupt in Frage kommen (Definitionsbereich)
x=20 cm macht zum Beispiel keinen Sinn...
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Das mit dem Definitionsbereich versteh ich nciht so ganz,in diesem Fall kann man das doch nur einschätzen,ich würde sagen so zwischen 5 und 10 kommt für x in Frage,aber genau bestimmen kann ich das nicht ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") .
Aber ich hab noch eine Nebenbedingung gefunden: b+2x=30 und die andere war ja a+2x=42,diese hab ich dann nach x aufgelöst: 21-0.5a=x
das x hab ich dann in die Formel für das Volumen eingesetzt:
[42-2(21-0.5a)]*[30-2(21-0.5a)]*(21-0.5a)
=(42-42+a)*(30-42+a)*(21-0.5a)
=(a)*(-12+a)*(21-0.5a)
stimmt das so??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Fr 25.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest doch schon die beste Form mit x, jetzt a zur unbekannten zu machen ist zwar nicht falsch, aber ungeschickt.
Bleib bei V(x)=(42-2x)*(30-2x)*x dabei muss x>0 und x<15 sein (sonst gibts keine Schachtel mehr!)
jetz such das max. von V(x) das kannst du doch sicher,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,Maximum bestimmen heißt ja dass ich sozusagen den "Hochpunkt" suche.
Also f'(x)=0.
Aber mit der Ableitung komm ich nicht so ganz klar, mit Produktregel gehts nicht weil ich 3 x habe.Hab mal versucht die Klammern auszumultiplizieren:
(42-2x)(30-2x)*x
1260-84x-60x+4x*x
aber das macht gar keinen Sinn,weil dann x=1120 rauskommt
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Grundsätzlich hast du richtig ausgeklammert, aber es fehlt überall der Faktor "x"!
Es ist
[mm]V(x) = (42-2*x)*(30-2*x)*x = 1260*x-144*x^{2}+4*x^{3}[/mm]
Leitet man das jetzt ab, erhält man
[mm]V'(x) = 1260 - 288*x + 12*x^{2}[/mm]
Nun zur Extremstellen-Bestimmung = 0 setzen:
[mm]V'(x) = 0[/mm]
[mm]\gdw 1260 - 288*x + 12*x^{2} = 0[/mm]
[mm]\gdw 105 - 24*x + x^{2} = 0[/mm]
[mm]\gdw x^{2} - 24*x + 105 = 0[/mm]
Dies ist eine quadratische Gleichung, die man lösen kann... 
Heraus kommen aber keine besonders schönen Werte:
[mm]x_{1} = 12 + \wurzel{39} \approx 18.245[/mm]
[mm]x_{2} = 12 - \wurzel{39} \approx 5.7550[/mm]
So, nun bist du dran. Du weißt jetzt, für welche Werte x das Volumen [mm]V(x)[/mm] "extrem" ist.
PS.: Die Ableitung kann man auch mit der Produktregel lösen. Dazu musst du zuerst zwei der drei Faktoren als einen ansehen und dann diesen bei der Ableitung nochmal aufteilen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
danke,
wenn ich diese x-Werte aber in die Formel fürs Volumen einsetze kommt was neagtaives raus
Ich hab aber mal die Volumen für die beiden x-Werte ausgerechnet,die man ja dann von Gesamtvolumen abziehen müsste:
x=18.245 V=6073.39
x=5.755 V=190.6
Aber das Gesamtvolumen ist negativ,das versteh ich nicht??
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Hallo Mandy_90,
> danke,
>
> wenn ich diese x-Werte aber in die Formel fürs Volumen
> einsetze kommt was neagtaives raus
>
> Ich hab aber mal die Volumen für die beiden x-Werte
> ausgerechnet,die man ja dann von Gesamtvolumen abziehen
> müsste:
>
> x=18.245 V=6073.39
> x=5.755 V=190.6
Die x-Werte sind ok.
>
> Aber das Gesamtvolumen ist negativ,das versteh ich nicht??
Ist ja klar, weil x nur zwischen 0 und 15 liegen kann.
Demnach kommt nur [mm]x=12-\wurzel{39} \approx 5.755 [/mm] in Frage.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Woher weiß man denn so genau ,dass x nur zwischen o und 15 liegen kann???
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Hallo Mandy_90,
> Woher weiß man denn so genau ,dass x nur zwischen o und 15
> liegen kann???
Die Volumenformel lautet ja:
[mm]V\left(x\right)=\left(42-2x\right)*\left(30-2x\right)*x[/mm]
Da das Volumen größer als Null sein muss, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
[mm]42-2x>0, \ 30-2x>0, \ x > 0[/mm]
Hieraus ergibt sich:
[mm]x<21, \ x < 15, \ x > 0[/mm]
Insgesamt muß [mm]0
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ah ja dankeschön ^^
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> Woher weiß man denn so genau , dass x nur zwischen 0 und 15
> liegen kann ???
Hallo Mandy,
um das zu SEHEN, nimmst du dir am besten ein rechteckiges Stück
Pappe (oder Papier) und faltest mal ein paar Schachtel-Modelle mit
verschiedenen Höhen! Wie gross ist die Höhe mindestens, wie gross
ist sie höchstens?
LG al-Ch.
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